[논문 리뷰] Prime-to-p étale covers of algebraic groups

Michel Brion, Tamás Szamuely|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 13.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특성 p ≥ 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 연결 대수적 군에 대한 소수 p와 서로소인 에탈 갈로아 쌍대 덮개가 중심적 이ogenousy의 구조를 지닌다고 증명하며, 이는 소수 p와 서로소인 기본군이 아벨 군임을 보이고, 그 크기가 Z_{(p')}^{2g+r}에 의해 유계임을 보여준다. 여기서 g는 아벨 다양체 몫의 차원이고 r는 유니포텐트 라디칼의 계수이다. 이 결과는 안정자군 부분군에 따라 조정된 유계를 갖는 동차 공간으로까지 확장된다.

ABSTRACT

Let G be a connected algebraic group over an algebraically closed field of characteristic p (possibly 0), and X a variety on which G acts transitively with connected stabilizers. We show that any étale Galois cover of X of degree prime to p is also homogeneous, and that the maximal prime-to-p quotient of the étale fundamental group of X is commutative. We moreover obtain an explicit bound for the number of topological generators of the said quotient. When G is commutative, we also obtain a description of the prime-to-p torsion in the Brauer group of G.

연구 동기 및 목표

• 특성 0 이상의 양의 특성에서 위상군에 대한 고전적 결과를 대수적 군으로 일반화하기 위해.
• 연결 대수적 군에 대한 소수 p와 서로소인 에탈 기본군 π₁^{(p')}의 구조와 위상적 계수를 규명하기 위해.
• 연결 안정자군을 갖는 동차 공간으로 에탈 덮개 이론을 확장하기 위해.
• 교환 대수적 군의 피카르 군과 브라우어 군을 연구하기 위한 기초 도구를 제공하기 위해.
• 기하적 불변량에 따라 π₁^{(p')}(G)의 위상적 생성자 수에 대한 정확한 유계를 설정하기 위해.

제안 방법

• G를 아벨 다양체 A에 의해 선형군 G_aff로 확장하는 체발리의 구조 정리의 사용.
• T에 대한 호모모르피즘 c: X*(T) → Pic⁰(A)를 통해 토르스 T에 의한 A의 확장을 분류하기 위해 바르소니-베일 공식의 적용.
• μ_n- torsor이 중심적 확장을 통해 인한 당김을 통해 교환 대수적 군 위에서 교환 군 스킴의 구조를 지닌다는 사실의 활용.
• 유니포텐트 라디칼을 고려하여 Pic(G)를 Pic(A)로 감소시키며, 등장사진 Pic(G) ≅ Pic(G/U)를 사용.
• 네로-세버리 그룹과 ℓ-아디크 코hom로 Brauer 군의 ℓ-주기적 토크션을 계산하기 위해.
• 로젠리히트의 보조정리와 선다발의 거듭제곱의 자명화를 통한 μ_n-torsor 위의 군 구조의 초등적 구성.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 p ≥ 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 연결 대수적 군 G에 대해 소수 p와 서로소인 에탈 기본군 π₁^{(p')}(G)의 구조는 무엇인가?
• RQ2 G의 소수 p와 서로소인 에탈 갈로아 쌍대 덮개는 항상 중심적 이ogenousy의 구조를 지녀, 군 준동형사상이 되도록 만들 수 있는가?
• RQ3 π₁^{(p')}(G)의 위상적 계수는 G의 기하적 불변량, 예를 들어 아벨 다양체 몫의 차원과 재구성 부분의 계수에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 안정자군이 연결된 G-동차 공간 X에 대해 π₁^{(p')}(X)의 구조는 무엇인가?
• RQ5 교환 대수적 군의 브라우어 군은 그 토크션 부분군과 기하적 불변량에 따라 어떻게 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 소수 p와 서로소인 기본군 π₁^{(p')}(G)는 아벨 군이며, Z_{(p')}^{2g + r}의 몫으로 나타난다. 여기서 g = dim A이고 r = rank(G_aff).
• 유계 2g + r는 정확하며, G가 차원 g의 아벨 다양체와 계수 r의 토르스의 곱인 경우에 도달된다.
• 안정자군이 연결된 동차 공간 X에 대해, π₁^{(p')}(X)는 Z_{(p')}^{2(g - g_H) + (r - r_H)}의 몫으로 나타난다. 여기서 g_H와 r_H는 안정자군 H의 차원과 계수이다.
• 브라우어 군 Br(G)의 ℓ-주기적 토크션은 (Q_ℓ/Z_ℓ)^{(2g + r)(2g + r - 1)/2 - ρ}와 동형이며, 여기서 ρ는 아벨 다양체 몫 A의 네로-세버리 계수이다.
• n이 특성과 서로소일 때, 0 → Pic(G)/nPic(G) → Hom(Λ²(_nG), μ_n) → _nBr(G) → 0의 정확한 수열이 성립하며, 이는 그로텐디크의 공식을 교환 대수적 군으로 확장한다.
• μ_n-torsor 위의 군 구조는 선다발의 거듭제곱의 자명화와 로젠리히트의 보조정리를 통해 구성된 G에 대한 중심적 확장으로부터 유도된다.