[논문 리뷰] Primitive root producing quadratics

Pieter Moree|ArXiv.org|2004. 06. 02.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 정수 g가 정수 계수의 이차다항식 f(n)에 의해 생성되는 연속된 소수들에 대해 원시근이 되는 경우를 조사하며, 이는 계수 1 문제와 소수 생성 다항식과 연결된다. 이는 계수체 이론과 소수 k-튜플렛 추측을 사용하여, 고정된 정수 g가 임의로 긴 연속된 소수들에 대해 원시근이 되는 이차다항식의 존재를 증명하며, 326이 형식 326n² + 3인 첫 206개의 소수에 대해 원시근임을 보이고, Y. Gallot이 이 수를 31,082개로 확장하였다.

ABSTRACT

D.H. Lehmer found a quadratic polynomial such that 326 is a primitive root for the first 206 primes represented by this polynomial. It is shown that this is related to the class number one problem and prime producing quadratics. An algorithm is described to find more impressive examples in the same spirit. Y. Gallot used it to establish the current record in which 206 is being replaced by 31082.

연구 동기 및 목표

• 고정된 정수 g가 이차다항식 f(n)에 의해 생성되는 연속된 많은 소수들에 대해 원시근이 되는 현상을 조사한다.
• 이 행동을 허수 이차체의 계수 1 문제와 소수 생성 다항식과 연결한다.
• 임의의 주어진 m에 대해, g가 f(n)으로 표현되는 첫 m개의 소수들에 대해 원시근이 되는 이차다항식 f와 정수 g가 존재함을 보여준다.
• ‘원시근 생성’ 다항식의 개념을 정의하고 이들의 이론적 한계를 분석한다.

제안 방법

• 이차다항식에 의해 표현되는 소수의 밀도를 모델링하기 위해 Bateman-Horn 및 Hardy-Littlewood 추측을 사용한다.
• 계수체 이론과 이차 상호법칙을 적용하여 수체 Q(√g_i)에서 소수의 분할 행동을 제어한다.
• 소수 k-튜플렛 추측을 사용하여 산술급수 내에서 여러 값 f(n)의 동시에 소수임을 보장한다.
• g가 f(n)이 소수일 때 주어진 범위 내의 모든 n에 대해 f(n)을 모듈로로 하여 원시근이 되는 명시적 이차다항식 f(n) = An² + C를 구성한다.
• 중국인의 나머지 정리와 등분포 가정을 사용하여 원시근 조건을 만족하는 최소 해의 크기를 추정한다.
• L-함수(L(1,χ_D) 및 L(2,χ_D))의 결과를 활용하여 디리클레 L-함수의 해석적 행동과 이러한 다항식의 존재성 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 정수 g가 이차다항식 f(n)에 의해 생성되는 연속된 소수들에 대해 긴 길이의 원시근이 될 수 있는가?
• RQ2 g와 f에 대한 어떤 수론적 조건이 g가 f(n)이 소수이면서 g를 나누지 않는 모든 소수에 대해 원시근이 되도록 보장하는가?
• RQ3 이러한 수열의 길이에 이론적 상한이 존재하는가, 아니면 임의로 길게 만들 수 있는가?
• RQ4 원시근 생성 다항식은 허수 이차체의 계수 1 문제와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 소수 k-튜플렛 추측을 얼마나 잘 활용하여 원시근 소수의 긴 수열을 보장하는 다항식을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 정수 m ≥ 1에 대해, g가 f(n)으로 표현되는 소수 중 첫 m개의 소수들에 대해 원시근이 되는 이차다항식 f와 정수 g가 존재함을 증명한다. 이 소수들은 g를 나누지 않는다.
• f(n) = 326n² + 3의 예시는 326이 원시근이 되는 206개의 연속된 소수를 제공하며, 이는 Q(√−163)의 계수 1과 관련되어 있다.
• Y. Gallot는 유사한 원리와 고급 계산을 사용하여 이 기록을 31,082개의 연속된 소수로 확장하였다.
• 이러한 다항식의 존재는 소수 k-튜플렛 추측과 일반화된 리만 가설에 조건을 두고 있지만, 이러한 가정 하에 이론적으로 타당하다.
• 이 논문은 이러한 다항식의 밀도가 L(2,χ_D)의 크기에 의해 결정됨을 보여주며, 이는 L(1,χ_D)가 소수 생성 행동을 지배하는 방식과 유사하다.
• 이차다항식이 g에 대해 무한히 많은 소수를 생성할 수는 없으며, 즉 c_g(f) < ∞ 임을 증명하였지만, 임의로 긴 유한 수열은 가능하다.