[논문 리뷰] Principal-agent problem with multiple principals

Kaitong Hu, Zhenjie Ren외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 30.

Stochastic processes and financial applications인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 한 명의 에이전트가 시간이 지남에 따라 여러 주인들 사이를 최적으로 전환하는 연속시간 도덕적 위험 모델을 연구한다. 백워드 SDE와 랜덤화된 설정을 사용하여, 에이전트의 가치 함수와 최적 노력의 표현을 도출하고, 주인 수가 매우 많아질 때 평균장 게임 균형으로 수렴함을 입증한다.

ABSTRACT

We consider a moral hazard problem with multiple principals in a continuous-time model. The agent can only work exclusively for one principal at a given time, so faces an optimal switching problem. Using a randomized formulation, we manage to represent the agent's value function and his optimal effort by an Itô process. This representation further helps to solve the principals' problem in case we have infinite number of principals in the sense of mean field game. Finally the mean field formulation is justified by an argument of propagation of chaos.

연구 동기 및 목표

• 단일 에이전트가 한 번에 한 주인에게만 전적으로 근무할 수 있는 도덕적 위험 설정을 모델링하는 것.
• 랜덤화된 설정과 백워드 SDE 기법을 도입하여 고전적인 주인-에이전트 프레임워크를 다수의 주인으로 확장하는 것.
• 무한히 많은 주인의 극한에서 평균장 게임 이론을 사용하여 주인들의 최적 계약 문제를 해결하는 것.
• 새로운 백워드 혼돈 전파 추론을 통해 평균장 근사의 타당성을 정당화하는 것.
• 에이전트의 가치 함수와 최적 노력의 다루기 쉬운 표현을 Itô 과정으로 제공하는 것.

제안 방법

• 에이전트가 주인들 사이에서 확률적으로 선택하는 랜덤화된 최적 전환 프레임워크를 사용하여 에이전트 문제를 설정한다.
• 에이전트의 가치 함수와 최적 노력의 동적 특성화를 가능하게 하기 위해 백워드 확률미분방정식(BSDE)을 통해 표현한다.
• 에이전트 최적화의 이중 표현을 사용하여 계약 수익과 노력이 BSDE의 해와 연결되도록 한다. 이때 드라이버는 $ c^*(Z_t) $이다.
• 무한히 많은 주인의 극한에서 평균장 게임 설정을 도입하며, 각 주인은 동일한 운동 법칙을 가진 대표적 에이전트를 대면한다.
• 백워드 혼돈 전파 추론을 사용하여 유한-$ n $ 주인 문제의 수렴성을 입증한다.
• 그로인발의 부등식과 대수의 법칙을 활용하여 주인 유형의 경험적 측도가 한계 평균장 분포로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한 명의 에이전트가 한 번에 한 주인에게만 근무할 수 있는 상황에서, 다수의 주인과 함께하는 주인-에이전트 문제는 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ2 백워드 SDE와 랜덤화된 설정을 사용하여 에이전트의 최적 전환 행동을 특성화할 수 있는가?
• RQ3 주인 수가 무한으로 갈 때 계약 문제의 한계 행동은 어떻게 되는가?
• RQ4 이 맥락에서 평균장 게임 설정을 엄밀하게 정당화할 수 있는가?
• RQ5 유한-$ n $ 주인 문제는 평균장 해로 수렴하는가? 그리고 어떤 조건에서 그러한 수렴이 이루어지는가?

주요 결과

• 백워드 SDE를 통한 표현 덕분에, 에이전트의 가치 함수와 최적 노력은 Itô 과정으로 표현되어 최적 계약의 동적 특성화가 가능해진다.
• 최적 노력 $ \alpha^*_t $ 는 $ \arg\max_a \{ aZ_t - c(a) \} $ 로 주어지며, 여기서 $ Z_t $ 는 BSDE 해의 마디앙 부분이다.
• 유한-$ n $ 주인 문제는 $ n \to \infty $ 일 때 평균장 게임 균형으로 수렴하며, 수렴 속도는 $ \mathbb{E}[d^2_0(p^n, p^*)] \leq C(\mathbb{E}[d^2_0(\nu^n, p^*)] + n^{-2}) $ 로 제어된다.
• 백워드 혼돈 전파가 입증되어 경험적 측도가 주인 유형의 한계 평균장 분포로 수렴함을 보여준다.
• 유한-$ n $ 경우의 각 주인의 가치 함수는 평균장 게임 가치로 수렴하며, 그 극한은 $ \mathbb{E}\left[\int_0^T \beta^*_u(\alpha^*_u W^i_u - U(\theta^i_u) + 1)du + \beta^*_T(W^i_T - U(Y^{*,i}_T))\right] $ 로 주어진다.
• 유용성 함수와 비용 함수의 유계성 및 리프시츠 연속성 조건 하에서 수렴이 증명되며, 이는 평균장 극한의 안정성을 보장한다.