[논문 리뷰] Principal bundle structure of matrix manifolds

Billaud-Friess, Marie, Antonio Falcó외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 11.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 15인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 고정 질량 행렬의 기하 구조를 제공하기 위해 $ r $-질량 행렬의 집합인 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 에 분석적 주접속다발 구조를 도입함으로써, 다각형의 국소 차원계를 직접 다각형에 따라 색인화하여 유일한 행렬 표현을 보장한다. 핵심 기여는 표준 행렬 노름 위상과는 다름없이, 행렬 질량이 연속적이며 이웃 영역이 자연스럽게 리 군 구조를 갖는, $ \mathbb{R}^{n\times m} $ 에 새로운 위상 구조를 도입하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new geometric description of the manifolds of matrices of fixed rank. The starting point is a geometric description of the Grassmann manifold $\mathbb{G}_r(\mathbb{R}^k)$ of linear subspaces of dimension $r<k$ in $\mathbb{R}^k$ which avoids the use of equivalence classes. The set $\mathbb{G}_r(\mathbb{R}^k)$ is equipped with an atlas which provides it with the structure of an analytic manifold modelled on $\mathbb{R}^{(k-r) imes r}$. Then we define an atlas for the set $\mathcal{M}_r(\mathbb{R}^{k imes r})$ of full rank matrices and prove that the resulting manifold is an analytic principal bundle with base $\mathbb{G}_r(\mathbb{R}^k)$ and typical fibre $\mathrm{GL}_r$, the general linear group of invertible matrices in $\mathbb{R}^{k imes k}$. Finally, we define an atlas for the set $\mathcal{M}_r(\mathbb{R}^{n imes m})$ of non-full rank matrices and prove that the resulting manifold is an analytic principal bundle with base $\mathbb{G}_r(\mathbb{R}^n) imes \mathbb{G}_r(\mathbb{R}^m)$ and typical fibre $\mathrm{GL}_r$. The atlas of $\mathcal{M}_r(\mathbb{R}^{n imes m})$ is indexed on the manifold itself, which allows a natural definition of a neighbourhood for a given matrix, this neighbourhood being proved to possess the structure of a Lie group. Moreover, the set $\mathcal{M}_r(\mathbb{R}^{n imes m})$ equipped with the topology induced by the atlas is proven to be an embedded submanifold of the matrix space $\mathbb{R}^{n imes m}$ equipped with the subspace topology. The proposed geometric description then results in a description of the matrix space $\mathbb{R}^{n imes m}$, seen as the union of manifolds $\mathcal{M}_r(\mathbb{R}^{n imes m})$, as an analytic manifold equipped with a topology for which the matrix rank is a continuous map.

연구 동기 및 목표

• 등가 클래스에 의존하지 않고 표준 리만 매bedding을 사용하지 않는 고정 질량 행렬 다각형의 기하 기술을 개발하기 위해.
• 표준 위상 $ \tau_{\mathbb{R}^{n\times m}} $ 에서의 행렬 질량 불연속성을 국소 차원계를 통해 새로운 위상을 도입함으로써 해결하기 위해.
• 국소 차원계를 다각형 자체에 따라 색인화하여 $ Z = U G V^T $ 를 사용한 행렬의 자연스럽고 유일한 매개변수화를 제공하기 위해.
• 새로운 위상 하에서 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 가 $ \mathbb{R}^{n\times m} $ 의 임베디드 분석 부분다각형임을 확립하기 위해.
• 다각형 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 의 이웃 영역이 자연스럽게 리 군 구조를 갖는다는 것을 보여주어 局소 좌표계에서 군 연산이 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 등가 클래스를 피하기 위해, 수직 컴플리멘트를 사용하여 $ \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^k) $ 의 그라스만다각형에 대한 아틀라스를 정의하고, $ \mathbb{R}^{(k-r)\times r} $ 에 기반을 두며, 이를 $ \mathbb{R}^{(k-r)\times r} $ 에 기반으로 한다.
• 행렬 $ Z = U G V^T $ 를 중심으로 하는 국소 차원계 $ \theta_Z $ 를 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 에 구성하고, $ \mathbb{R}^{(n-r)\times r} \times \mathbb{R}^{(m-r)\times r} \times \mathrm{GL}_r $ 로 사상하며, 수직 프로젝터 $ U_\perp, V_\perp $ 를 사용한다.
• 전환 사상이 분석적 미분동형사상임을 이용하여, $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 가 $ \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^n) \times \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^m) $ 위의 분석적 주접속다발이며, 섬유는 $ \mathrm{GL}_r $ 이라고 증명한다.
• 국소 좌표계를 통해 $ U_Z $ 에 군 연산 $ \star_Z $ 를 정의한다: $ \theta_Z^{-1}(X,Y,G) \star_Z \theta_Z^{-1}(X',Y',G') = \theta_Z^{-1}(X+X', Y+Y', GG') $ 로 하여 $ U_Z $ 가 리 군이 되게 한다.
• 역함수 정리로 인해, 새로운 위상 $ \tau_{B_{n,m,r}} $ 하에서 포함사상 $ i: M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) \to \mathbb{R}^{n\times m} $ 가 위상적 임베딩임을 보인다.
• 직접적으로 접선 사상 $ T_Z i $ 를 $ \dot{Z} = U_\perp \dot{X} G V^T + U G (V_\perp \dot{Y})^T + U \dot{G} V^T $ 로 유도하고, 선형 동형사상이며 명시적 역함수를 갖는다고 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정 질량 행렬의 집합 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 은 등가 클래스를 피하고 국소 매개변수화가 고유하게 보장되는 기하 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ2 제안된 아틀라스는 $ \mathbb{R}^{n\times m} $ 에 위상 구조를 유도하는가? 이 위상 하에서 행렬 질량 사상은 연속적인가?
• RQ3 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 의 행렬 이웃 영역 $ U_Z $ 는 다각형 기하학과 호환되는 자연스러운 리 군 구조를 지닐 수 있는가?
• RQ4 새로운 아틀라스 유도 위상 하에서 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 의 포함 사상 $ i: M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) \to \mathbb{R}^{n\times m} $ 는 위상적 임베딩인가?
• RQ5 행렬 $ Z = U G V^T $ 에서의 접선 공간은 어떻게 분해되며, $ \mathbb{R}^{(n-r)\times r} \times \mathbb{R}^{(m-r)\times r} \times \mathbb{R}^{r\times r} $ 와의 선형 동형사상은 명시적으로 기술할 수 있는가?

주요 결과

• $ \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^k) $ 는 등가 클래스를 사용하지 않고 $ \mathbb{R}^{(k-r)\times r} $ 에 기반한 새로운 분석 다각형 구조를 갖는다.
• $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 는 다각형 자체에 따라 색인화된 차원계 시스템을 사용하여, $ \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^n) \times \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^m) $ 위의 분석적 주접속다발이며, 섬유는 $ \mathrm{GL}_r $ 이라고 증명된다.
• 아틀라스 유도 위상 $ \tau_{B_{n,m,r}} $ 하에서 포함 사상 $ i: M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) \to \mathbb{R}^{n\times m} $ 는 위상적 임베딩이며, 이로 인해 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 는 임베디드 부분다각형이 된다.
• 행렬 $ Z = U G V^T $ 에서의 접선 사상 $ T_Z i $ 는 선형 동형사상이며, 그 역함수는 $ (T_Z i)^{-1}(\dot{Z}) = (U_\perp^+ \dot{Z} (V_+)^T G^{-1}, V_\perp^+ \dot{Z}^T (U_+)^T G^{-T}, U_+ \dot{Z} (V_+)^T) $ 로 명시적으로 기술된다.
• $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 의 이웃 영역 $ U_Z $ 는 $ \mathbb{R}^{(n-r)\times r} \times \mathbb{R}^{(m-r)\times r} \times \mathrm{GL}_r $ 와 미분동형이며, 연산 $ \star_Z $ 를 통해 리 군 구조를 유도한다.
• $ \eta_Z(\theta_Z^{-1}(X,Y,H)) = (\exp(U_\perp X U^+), \exp(V_\perp Y V^+), H) $ 로 정의된 사상 $ \eta_Z: U_Z \to \mathrm{GL}_r \times \mathrm{GL}_r \times \mathrm{GL}_r $ 는 리 군 동형사상이며, $ U_Z $ 에서의 리 군 구조를 확인한다.