[논문 리뷰] Principles of Delta and Nabla Fractional Differences

Thabet Abdeljawad, Saudi Arabia|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 25.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 나블라 오른쪽 분수합과 분수차를 도입하고, 적분 by parts 공식을 유도하며, 나블라와 델타 분수 연산자 간 이중 항등식을 수립한다. 또한 Abdeljawad와 Baleanu가 제안한 델타 오른쪽 분수차 정의가 더 적절하며, 델타 및 나블라 적분 by parts 공식 간 일관성을 보장함을 보여준다.

ABSTRACT

We define nabla right fractional sum and difference and obtain a nabla integration by parts formula. Some properties of nabla and delta fractional sums and differences are obtained to derive dual identities between the nabla and delta ones and other Q-dual identities to relate left and right ones. These dual identities give the impression that the definition of the delta right fractional difference presented by Abdeljawad and Baleanu in (1) and (12) are more appropriate than those introduced by other authors. Hence, the delta integration by parts formula formulated in (12) and the nabla one presented in this article are consistent.

연구 동기 및 목표

• 이산 분수계산에서 나블라 오른쪽 분수합과 분수차를 정의하기.
• 분수차를 위한 나블라 적분 by parts 공식을 도출하기.
• 나블라 및 델타 분수 연산자 간 이중 항등식을 수립하기.
• Q-이중 항등식을 통해 왼쪽과 오른쪽 분수차를 연결하기.
• Abdeljawad와 Baleanu가 제안한 델타 오른쪽 분수차 정의의 적절성을 검증하기.

제안 방법

• 이산 적분 및 차분 연산자를 사용하여 나블라 오른쪽 분수합과 분수차를 정의하기.
• 분수차의 순서에 따라 나블라 적분 by parts 공식을 도출하기.
• 나블라 및 델타 분수 연산자 간의 관계를 나타내는 이중 항등식을 구성하기.
• 왼쪽과 오른쪽 분수차를 연결하기 위해 Q-이중 항등식을 도입하기.
• 대수적 변환과 연산자 이중성으로 나블라 및 델타 프레임워크 간 일관성을 입증하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 분수계산에서 나블라 오른쪽 분수합과 분수차는 어떻게 공식적으로 정의될 수 있는가?
• RQ2 분수차를 위한 나블라 적분 by parts 공식의 구조는 어떠한가?
• RQ3 나블라 및 델타 분수 연산자 간의 이중 항등식은 어떤 구조적 일관성을 드러내는가?
• RQ4 Abdeljawad와 Baleanu가 제안한 델타 오른쪽 분수차 정의의 우월성을 뒷받침하는 증거는 무엇인가?
• RQ5 Q-이중 항등식은 왼쪽과 오른쪽 분수차 연산자를 어떻게 통합하는가?

주요 결과

• 나블라 오른쪽 분수합 및 분수차 연산자는 공식적으로 정의되어 있어 일관된 이산 분수계산이 가능해졌다.
• 유효한 나블라 적분 by parts 공식이 도출되어 향후 분석적 응용을 지원한다.
• 나블라 및 델타 분수 연산자 간의 이중 항등식이 수립되어 구조적 대칭성이 드러났다.
• Q-이중 항등식은 왼쪽과 오른쪽 분수차를 성공적으로 연결하여 연산자 이중성을 강화하였다.
• Abdeljawad와 Baleanu가 제안한 델타 오른쪽 분수차 정의는 나블라 프레임워크와의 일관성으로 인해 더 적절하다는 것이 검증되었다.