[논문 리뷰] Prioritized Inverse Kinematics: Nonsmoothness, Trajectory Existence, Task Convergence, Stability

Sang-ik An, Dongheui Lee|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 09.

Robotic Mechanisms and Dynamics참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비연속성, 궤적 존재성, 작업 수렴성 및 안정성에 대해 분석함으로써 우선순위가 부여된 역운동역학(PIK)의 이론적 기초를 구축한다. PIK 해에 대한 관절 궤적의 존재성과 유일성에 대한 대체 정리(정리)를 제안하고, 일정한 목표 궤적이 가정되지 않은 상황에서도 작업 수렴성을 증명하며, 평형점의 점근적 안정성을 입증함으로써 우선순위가 부여된 작업을 가진 로봇 시스템에 대한 신뢰할 수 있는 제어 설계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we study various theoretical properties of a class of prioritized inverse kinematics (PIK) solutions that can be considered as a class of (output regulation or tracking) control laws of a dynamical system with prioritized multiple outputs. We first develop tools to investigate nonsmoothness of PIK solutions and find a sufficient condition for nonsmoothness. It implies that existence and uniqueness of a joint trajectory satisfying a PIK solution cannot be guaranteed by the classical theorems. So, we construct an alternative existence and uniqueness theorem that uses structural information of PIK solutions. Then, we narrow the class of PIK solutions down to the case that all tasks are designed to follow some desired task trajectories and discover a few properties related to task convergence. The study goes further to analyze stability of equilibrium points of the differential equation whose right hand side is a PIK solution when all tasks are designed to reach some desired task positions. Finally, we furnish an example with a two-link manipulator that shows how our findings can be used to analyze the behavior of a joint trajectory generated from a PIK solution.

연구 동기 및 목표

• 우선순위가 부여된 역운동역학(PIK)의 이론적 격차, 특히 비연속성과 궤적 존재성에 대해 다루기.
• 클래식한 정리들이 실패할 경우에도 관절 궤적이 존재하고 유일함이 보장되는 조건을 확립하기.
• 고정된 위치가 아니라 시간에 따라 변하는 목표 궤적을 따라 움직이는 작업의 경우, 작업 수렴성을 분석하기.
• 목표 위치가 고정된 경우, PIK 해에 의해 유도된 미분방정식의 평형점의 안정성 조사하기.
• 로봇 시스템에 기반한 PIK 기반 제어 법칙의 신뢰성 있는 설계를 뒷받침하는 이론적 프레임워크 제공하기.

제안 방법

• 목표 함수의 표현 성질를 완화시켜 PIK 해의 비연속성 분석을 위한 도구 개발하기.
• PIK 해의 구조적 정보를 활용하여 고전적 정리(예: 페아노 정리)를 회피하는 대체 존재성 및 유일성 정리 제안하기.
• 우선순위가 부여된 출력을 가진 동적 시스템에 대한 제어 법칙으로서 PIK 해를 수식화하여 궤적 행동 분석 가능하게 하기.
• 적분 부등식과 극한의 논증을 사용하여 시간에 따라 변하는 목표 궤적 하에서의 작업 수렴성 분석하기.
• 리아푸노프 유사 분석을 통해 평형점의 점근적 안정성 확립하고, 목표 작업 위치로의 수렴성 증명하기.
• 이중 링크 조작자 예제를 통해 결과를 검증하여, 비연속 PIK 하에서도 궤적 존재성, 수렴성 및 안정성이 해석적으로 보장됨을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PIK 해가 비연속이 되는 조건는 무엇이며, 이를 공식적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ2 고전적 정리가 실패할 경우에도 PIK 해를 만족하는 관절 궤적이 존재하고 유일함을 보장할 수 있는가?
• RQ3 작업이 시간에 따라 변하는 목표 궤적을 따라갈 때 PIK 해가 작업 수렴성을 보장하는가? 그리고 어떤 피드백 이득 범위에서 가능한가?
• RQ4 목표 위치가 고정된 경우, PIK에 의해 유도된 미분방정식의 평형점은 점근적으로 안정한가?
• RQ5 이론적 결과는 실용적인 로봇 시스템에서 신뢰할 수 있는 행동을 보장하기 위해 어떻게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• PIK 해의 비연속성에 대한 충분조건이 도출되었으며, 이는 고전적 존재 정리가 궤적 존재성을 보장하지 못함을 보여준다.
• PIK 해의 구조적 성질을 활용하여 비연속 PIK일지라도 궤적 존재성을 보장하는 대체 존재성 및 유일성 정리가 구성되었다.
• 모든 양의 피드백 이득에서 시간에 따라 변하는 목표 궤적으로의 작업 수렴성이 증명되었으며, 일정한 목표 궤적이 필요로 하지 않는다.
• 목표 위치가 고정된 경우, PIK에 의해 유도된 미분방정식의 평형점은 점근적으로 안정하다.
• 최종 구성이 운동학 제약 조건을 만족할 경우에만 관절 궤적의 극한이 타당 집합 내의 한 점으로 수렴하며, 이는 작업 오차 수렴성을 보장한다.
• 이중 링크 조작자 예제를 통해 제안된 프레임워크를 사용하여 궤적 존재성, 작업 수렴성 및 안정성이 해석적으로 보장됨을 확인하였다.