[논문 리뷰] Prisms and Prismatic Cohomology

Bhargav Bhatt, Peter Scholze|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 완전oid 링의 변형인 프리즘을 통해 통합된 $p$-adic 코homology 이론의 기초 프레임워크를 제안한다. $p$-adic 형식 스킴에 대해 프리즘 사이트라고 불리는 링드 사이트를 구성함으로써, 저자들은 프리즘 코homology 가 기존 이론들인 에탈, 드 라무, 크리스탈린 코homology 로 특수화되고 이를 개선함을 보이며, $p$-adic 테이트 트위스트의 홀수 성분 소멸 및 $q$-de Rham 코homology 의 좌표 불변 기술과 같은 핵심 추측을 증명한다.

ABSTRACT

We introduce the notion of a prism, which may be regarded as a "deperfection" of the notion of a perfectoid ring. Using prisms, we attach a ringed site -- the prismatic site -- to a $p$-adic formal scheme. The resulting cohomology theory specializes to (and often refines) most known integral $p$-adic cohomology theories. As applications, we prove an improved version of the almost purity theorem allowing ramification along arbitrary closed subsets (without using adic spaces), give a co-ordinate free description of $q$-de Rham cohomology as conjectured by the second author, and settle a vanishing conjecture for the $p$-adic Tate twists $\mathbf{Z}_p(n)$ introduced in previous joint work with Morrow.

연구 동기 및 목표

• 프리즘을 완전oid 링의 '탈완전화(deperfection)'로 삼아, $p$-adic 코호몰로지 이론을 위한 새로운 통합적 프레임워크를 개발하는 것.
• 형식 스킴에 대해 프리즘 사이트라고 불리는 링드 사이트 $((X/A)_{\mathrm{prism}})$ 를 구성함으로써 일반적인 코호몰로지 이론을 가능하게 하는 것.
• 광범위한 닫힌 부분집합에 沿한 분기 가능성을 허용하는, 애드릭 공간을 사용하지 않는 거의 순수성 정리의 일반화를 증명하는 것.
• 슐로체가 추측한 바와 같이, 좌표 불변 기술을 통한 $q$-de Rham 코호몰로지의 기술을 제공하는 것.
• $K$-이론에서 $p$-adic 테이트 트위스트 $\mathbf{Z}_p(n)$ 의 홀수 성분 소멸 추측을 해결하는 것.

제안 방법

• 프리즘을 $(A, I)$ 의 쌍으로 정의한다. 여기서 $A$ 는 $\delta$-링이며, $I \subset A$ 는 $A$ 가 $(p,I)$-완비이고 $I + \phi_A(I)A \supset p$ 를 만족하는 이상이다. $\phi_A$ 는 프로베누스 승상이다.
• 스무스한 $p$-adic 형식 스킴 $X$ 를 $A/I$ 에 대해 프리즘 사이트 $((X/A)_{\mathrm{prism}})$ 를 구성하고, 프리즘 코호몰로지를 그 구조층의 유도 전역 단면으로 정의한다.
• 이론적 $\delta$-링과 그의 완전화를 사용하여 프리즘과 완전oid 링을 $A \mapsto A/I$ 와 $R \mapsto (A_{\mathrm{inf}}(R), \ker \theta)$ 의 함자들을 통해 연결한다.
• 특성 $p$ 와 혼합 특성에서 허드지-테이트 비교 동형을 확립하여, 프리즘 코호몰로지가 드 라무 및 크리스탈린 코호몰로지와 연결됨을 보인다.
• 일반화된 설정에서 에탈 비교 정리와 거의 순수성 정리를 증명하여, 임의의 닫힌 부분집합에 沿한 분기 가능성을 허용한다.
• 니아우드 필터링과 $q$-변형을 적용하여 $q$-크리스탈린 및 $q$-de Rham 코호몰로지를 기술하고, $\mathbf{Z}_p(n)$ 에 대한 홀수 성분 소멸 추측을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일관된 코호몰로지 이론이 기존의 $p$-adic 코호몰로지 이론들, 즉 에탈, 드 라무, 크리스탈린 코호몰로지를 어떻게 통합할 수 있는가?
• RQ2 애드릭 기하학을 사용하지 않고도, 임의의 닫힌 부분집합에 沿한 분기 가능성을 허용하는 거의 순수성 정리를 일반화할 수 있는가?
• RQ3 슐로체의 추측에 따르면, $q$-de Rham 코호몰로지에 대해 좌표 불변 기술이 존재하는가?
• RQ4 $K$-이론에서 $p$-adic 테이트 트위스트 $\mathbf{Z}_p(n)$ 의 홀수 성분 소멸 추측이 성립하는가?
• RQ5 프리즘 코호몰로지와 바흐트-모로우-슐로체의 $A\Omega$ 코호몰로지 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 프리즘 코호몰로지 는 기존의 모든 정수 $p$-adic 코호몰로지 이론들, 즉 에탈, 드 라무, 크리스탈린, $q$-de Rham 코호몰로지 등으로 특수화되며 이를 개선한다.
• 완전한 프리즘의 범주와 완전oid 링의 범주는 동치이며, 이는 프리즘이 완전oid 링의 '탈완전화'임을 보여준다.
• 저자들은 애드릭 공간을 사용하지 않고도 임의의 닫힌 부분집합에 沿한 분기 가능성을 허용하는 일반화된 거의 순수성 정리를 증명한다.
• 슐로체의 추측을 확인하기 위해 좌표 불변 기술을 $(\mathbf{Z}_p[[q-1]], ([p]_q))$ 라는 프리즘을 통해 확립한다.
• $\mathbf{Z}_p(n)$ 에 대한 홀수 성분 소멸 추측은 해결되었다: $R$ 가 완전oid 링일 때, $H^i_{\mathrm{ét}}(\operatorname{Spec} R, \mathbf{Z}_p(n)) = 0$ 이다. 이때 $i \neq 2n$ 이고 $n$ 이 홀수일 경우.
• 스무스한 형식 스킴에 대한 프리즘 코호몰로지는 $\mathbbl{\Delta}_{S/A} \cong A_{\mathrm{inf}}(S)\{\frac{g_1}{d}, \dots, \frac{g_r}{d}\}^\wedge$ 를 통해 계산되며, 여기서 $g_i$ 는 $p$-완전히 정규인 수열에서 $f_i$ 의 상향이다.