[논문 리뷰] Private Function Computation for Noncolluding Coded Databases

Sarah A. Obead, Hsuan-Yin Lin외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 22.

Advanced Data Storage Technologies참고 문헌 28인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비협력적 코딩된 데이터베이스에서 비밀 함수 계산(PPC)을 위한 용량을 달성하는 방법을 제안하며, 다변수 다항식 계산에 초점을 맞춘다. Reed-Solomon 및 체계적 라그랑주 인코딩을 사용하여 선형(PLC) 및 고차수 다항식 계산을 위한 새로운 프로토콜을 도입하여, 특히 메시지 수가 증가할 때 渐近적 영역에서 최적 또는 상당히 향상된 계산 속도를 달성한다.

ABSTRACT

Private computation in a distributed storage system (DSS) is a generalization of the private information retrieval (PIR) problem. In such setting a user wishes to compute a function of $f$ messages stored in $n$ noncolluding coded databases, i.e., databases storing data encoded with an $[n,k]$ linear storage code, while revealing no information about the desired function to the databases. We consider the problem of private polynomial computation (PPC). In PPC, a user wishes to compute a multivariate polynomial of degree at most $g$ over $f$ variables (or messages) stored in multiple databases. First, we consider the private computation of polynomials of degree $g=1$, i.e., private linear computation (PLC) for coded databases. In PLC, a user wishes to compute a linear combination over the $f$ messages while keeping the coefficients of the desired linear combination hidden from the database. For a linearly encoded DSS, we present a capacity-achieving PLC scheme and show that the PLC capacity, which is the ratio of the desired amount of information and the total amount of downloaded information, matches the maximum distance separable coded capacity of PIR for a large class of linear storage codes. Then, we consider private computation of higher degree polynomials, i.e., $g>1$. For this setup, we construct two novel PPC schemes. In the first scheme, we consider Reed-Solomon coded databases with Lagrange encoding, which leverages ideas from recently proposed star-product PIR and Lagrange coded computation. The second scheme considers the special case of coded databases with systematic Lagrange encoding. Both schemes yield improved rates, while asymptotically, as $f ightarrow \infty$, the systematic scheme gives a significantly better computation retrieval rate compared to all known schemes up to some storage code rate that depends on the maximum degree of the candidate polynomials.

연구 동기 및 목표

• 선형 코드로 저장된 비협력적 코딩된 데이터베이스를 위한 비밀 함수 계산(PPC) 체계를 개발한다.
• 선형으로 인코딩된 분산 저장 시스템에서 비밀 선형 계산(PLC)의 최적 통신 속도(용량)를 달성한다.
• 라그랑주 및 체계적 인코딩 기법을 사용하여 고차수 다항식(g > 1)에 대한 효율적인 PPC 프로토콜을 설계한다.
• 계산 수거 속도를 분석하고 개선하며, 특히 메시지 수 f → ∞일 때의 渐近적 영역에서 분석한다.
• 제안된 체계가 알려진 속도를 달성하거나 초월하며, 특히 체계적 라그랑주 코딩된 데이터베이스에서 그러한 성능을 보임을 보여준다.

제안 방법

• 최대 거리 분리(MDS) 코딩된 PIR 용량을 활용하여 선형으로 인코딩된 데이터베이스에 대한 용량을 달성하는 PLC 체계를 제안하며, 알려진 MDS-PIR 용량과 일치시킨다.
• 스타곱 PIR 및 라그랑주 코딩된 계산에 영감을 얻어, Reed-Solomon 코딩된 데이터베이스를 사용하는 새로운 PPC 체계를 도입한다.
• 라그랑주 인코딩을 사용하는 체계적으로 인코딩된 데이터베이스를 위해 특별히 설계된 두 번째 PPC 체계를 개발하여 효율적인 쿼리 설계와 부울성 감소를 가능하게 한다.
• 다항식 함수와 그 단항식 기저 간의 결정론적 선형 사상으로 의존성을 모델링하고 중복 쿼리를 제거한다.
• 조합적 쿼리 그룹화(Group 1 및 Group 2)를 적용하여 선형 의존성 기반으로 중복 쿼리 유형을 식별하고 제거한다.
• 재귀적 쿼리 구축 전략을 적용하여, 원하는 함수 평가가 알려져 있을 경우 Group 2의 쿼리를 Group 1 쿼리의 선형 조합으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코딩된 데이터베이스에서 비밀 선형 계산(PLC)이 MDS-PIR 용량을 달성할 수 있으며, 만약 가능하면 어떤 조건에서 그러한 달성이 이루어지는가?
• RQ2 구조적 인코딩을 사용하여 고차수 다항식 계산(PPC)을 위한 코딩된 데이터베이스에서 효율적으로 실현할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ3 라그랑주 인코딩을 사용하는 Reed-Solomon 코딩된 데이터베이스에서 PPC의 실현 가능한 계산 수거 속도는 얼마이며, 이는 이전 체계와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 체계적 라그랑주 인코딩은 특히 渐近적 영역에서 PPC의 속도 성능에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 선형 의존성 분석을 통해 PPC에서 중복 쿼리 유형을 체계적으로 식별하고 제거할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 PLC 체계는 선형 저장 코드의 광범위한 클래스에서 MDS 코딩된 PIR 용량을 달성하며, 알려진 이론적 한계와 일치한다.
• 라그랑주 인코딩을 사용하는 Reed-Solomon 코딩된 데이터베이스에서는 제안된 PPC 체계가 이전 방법보다 계산 수거 속도를 향상시키며, 특히 저코드율에서 두드러진다.
• 체계적 라그랑주 코딩된 PPC 체계는 f → ∞일 때 상당히 향상된 渐近적 계산 수거 속도를 달성하며, 주어진 최대 다항식 차수 g에 대해 모든 알려진 체계를 능가한다.
• 쿼리 간의 선형 의존성을 식별함으로써 Group 2의 중복 쿼리 유형 수를 감소시키며, τ-합에 대해 (μ−r choose τ)로 주어진다.
• 유도된 쿼리 중복 제거는 다항식 함수와 그 단항식 기저 간의 결정론적 선형 사상에 기반하여 유효하며, 효율적인 쿼리 설계를 가능하게 한다.
• 제안된 체계는 최적 또는 거의 최적의 속도를 달성하며, 체계적 체계는 渐近적 영역에서 이론적 한계에 가까이 접근한다.