[논문 리뷰] Probabilistic Infinite Secret Sharing

László Csirmaz|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 01.

Cryptography and Data Security참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 확률 공간과 무한한 참가자를 사용하는 확률적 무한 비밀 공유 프레임워크를 제안하며, 가측적 방법으로 실현 가능한 액세스 구조를 특성화한다. 모든 액세스 구조는 비가측적 완전한 스킴을 갖는다. 반면, 가측적 완전/거의 완전한 스킴은 액세스 구조가 Sierpiński 위상에서 열린 집합일 때에만 존재하며, 이는 스팬 프로그램에 의한 실현 가능성과 동치이다. 가측적 램프/거의 램프 스킴은 액세스 구조가 Gδ 집합일 때에만 존재하며, 이는 힐버트 공간 프로그램에 의한 실현 가능성과 동치이다.

ABSTRACT

The study of probabilistic secret sharing schemes using arbitrary probability spaces and possibly infinite number of participants lets us investigate abstract properties of such schemes. It highlights important properties, explains why certain definitions work better than others, connects this topic to other branches of mathematics, and might yield new design paradigms. A probabilistic secret sharing scheme is a joint probability distribution of the shares and the secret together with a collection of secret recovery functions for qualified subsets. The scheme is measurable if the recovery functions are measurable. Depending on how much information an unqualified subset might have, we define four scheme types: perfect, almost perfect, ramp, and almost ramp. Our main results characterize the access structures which can be realized by schemes of these types. We show that every access structure can be realized by a non-measurable perfect probabilistic scheme. The construction is based on a paradoxical pair of independent random variables which determine each other. For measurable schemes we have the following complete characterization. An access structure can be realized by a (measurable) perfect, or almost perfect scheme if and only if the access structure, as a subset of the Sierpiński space {0, 1} P, is open, if and only if it can be realized by a span program. The access structure can be realized by a (measurable) ramp or almost ramp scheme if and only if the access structure is a Gδ set (intersection of countably many open sets) in the Sierpiński topology, if and only if it can be realized by a Hilbert-space program.

연구 동기 및 목표

• 임의의 확률 공간과 무한한 참가자를 가진 확률적 비밀 공유 스킴의 추상적 성질을 조사하기 위해.
• 무한 설정에서 일부 정의(예: 완전, 거의 완전)가 다른 것들보다 더 적합한 이유를 명확히 하기 위해.
• 비밀 공유와 위상수학, 측도 이론, 함수해석학과 같은 더 넓은 수학적 구조 사이의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 다양한 유형의 가측적 확률적 비밀 공유 스킴에 의해 실현 가능한 액세스 구조의 완전한 특성화를 제공하기 위해.

제안 방법

• 비밀 공유를 공유물과 비밀의 연합 확률분포로 모델링하고, 자격을 갖춘 부분집합에 대한 복구 함수를 정의한다.
• 비자격 부분집합에 대한 정보 누출 기반으로 완전, 거의 완전, 램프, 거의 램프의 네 가지 스킴 유형을 정의한다.
• 액세스 구조를 위상화하기 위해 Sierpiński 공간 {0,1}^P를 사용하고, 열린 집합과 Gδ 집합을 통해 그 성질을 분석한다.
• 측도 이론적 개념을 적용하여 가측적 스킴를 정의하고, 복구 함수가 가측적이도록 보장한다.
• 비가측적 완전한 스킴을 실현하기 위해 상호로 결정하는 독립적인 랜덤 변수의 역설적 쌍을 구성한다.
• 액세스 구조 유형과 프로그램 이론적 모델 간의 등가성을 설정: 스팬 프로그램은 완전한 스킴에 대해, 힐버트 공간 프로그램은 램프 스킴에 대해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 설정에서 비가측적 완전한 확률적 비밀 공유 스킴이 실현 가능한 액세스 구조는 무엇인가?
• RQ2 가측적 완전 또는 거의 완전한 스킴의 실현 가능성을 보장하는 액세스 구조에 대한 위상 조건은 무엇인가?
• RQ3 램프 및 거의 램프 스킴은 Sierpiński 위상에서 보렐 계층 구조, 특히 Gδ 집합과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 가측적 비밀 공유 스킴는 스팬 프로그램 또는 힐버트 공간 프로그램과 같은 대수적 또는 함수해석학적 모델을 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ5 랜덤 변수의 역설적 독립성이 비가측적 비밀 공유 스킴을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 액세스 구조는 서로가 서로를 결정하는 역설적 쌍의 독립적인 랜덤 변수를 활용하여 비가측적 완전한 확률적 비밀 공유 스킴으로 실현 가능하다.
• 가측적 완전 또는 거의 완전한 비밀 공유 스킴이 존재하는 것은 액세스 구조가 {0,1}^P 상의 Sierpiński 위상에서 열린 집합일 때에만 성립한다.
• 액세스 구조가 스팬 프로그램에 의해 실현 가능할 때에만 가측적 완전 또는 거의 완전한 스킴이 존재한다.
• 가측적 램프 또는 거의 램프 비밀 공유 스킴이 존재하는 것은 액세스 구조가 Sierpiński 위상에서 Gδ 집합(열린 집합의 가산 교차)일 때에만 성립한다.
• 이러한 스킴는 힐버트 공간 프로그램에 의한 실현과 동치이며, 위상적 구조와 함수해석적 표현 간의 깊은 연결 고리를 확립한다.
• 논문은 무한 확률적 설정에서 네 가지 스킴 유형 전반에 걸쳐 액세스 구조의 완전한 위상적 및 프로그램 이론적 분류를 수립한다.