[논문 리뷰] Probabilistic lower bounds on maximal determinants of binary matrices

Richard P. Brent, Judy-anne H. Osborn외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 26.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $n \times n$ 이진 행렬의 최대 행렬식에 대한 새로운 확률론적 하한을 확립한다. 이는 $h \leq n$ 인 힐베르트 행렬을 $d = n - h$ 행과 열로 확장하는 구성 방법을 사용한다. 이는 $\mathcal{R}(n) = \mathcal{D}(n)/n^{n/2}$ 이 $d$ 에만 의존하는 양의 상한으로 유계임을 증명하며, 이는 $n \to \infty$ 일 때 이전의 하한이 0으로 감소하는 것과는 대조된다. 주요 결과는 $d \leq 3$ 일 때 $\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2}$ 이며, 힐베르트 추측이 참이라면 이는 약 0.1133 의 보편 하한을 의미한다.

ABSTRACT

Let ${\mathcal D}(n)$ be the maximal determinant for $n imes n$ $\{\pm 1\}$-matrices, and $\mathcal R(n) = {\mathcal D}(n)/n^{n/2}$ be the ratio of ${\mathcal D}(n)$ to the Hadamard upper bound. Using the probabilistic method, we prove new lower bounds on ${\mathcal D}(n)$ and $\mathcal R(n)$ in terms of $d = n-h$, where $h$ is the order of a Hadamard matrix and $h$ is maximal subject to $h \le n$. For example, $\mathcal R(n) > (πe/2)^{-d/2}$ if $1 \le d \le 3$, and $\mathcal R(n) > (πe/2)^{-d/2}(1 - d^2(π/(2h))^{1/2})$ if $d > 3$. By a recent result of Livinskyi, $d^2/h^{1/2} o 0$ as $n o \infty$, so the second bound is close to $(πe/2)^{-d/2}$ for large $n$. Previous lower bounds tended to zero as $n o \infty$ with $d$ fixed, except in the cases $d \in \{0,1\}$. For $d \ge 2$, our bounds are better for all sufficiently large $n$. If the Hadamard conjecture is true, then $d \le 3$, so the first bound above shows that $\mathcal R(n)$ is bounded below by a positive constant $(πe/2)^{-3/2} > 0.1133$.

연구 동기 및 목표

• 모든 $n \times n$ $\{\pm 1\}$-행렬의 최대 행렬식 $\mathcal{D}(n)$ 에 대한 개선된 하한을 확립하는 것, 특히 $n$ 이 힐베르트 순서가 아닐 경우.
• 기존의 $\mathcal{R}(n) = \mathcal{D}(n)/n^{n/2}$ 하한이 $d \geq 2$ 이면 $n \to \infty$ 일 때 0으로 수렴하는 문제를 해결하기 위해 확률론적 방법을 도입하는 것.
• 하나의 상수 $d = n - h$ 에만 의존하는 양의 하한으로 $\mathcal{R}(n)$ 이 유계임을 보여주며, 고정된 $d \geq 2$ 에 대해 상수 하한을 제공하는 것.

제안 방법

• 확률론적 구성은 $h \times h$ 힐베르트 행렬 $A$ 를 $d = n - h$ 개의 랜덤한 $\pm 1$ 원소를 갖는 $d$ 개의 새로운 열로 확장한 후, 스체르 보조행렬의 행렬식을 최대화하기 위해 $d$ 개의 새로운 행을 결정론적으로 채운다.
• 이 방법은 확률론적 행렬 이론 도구를 사용하여 최종 $n \times n$ 행렬 $\widetilde{A}$ 의 스체르 보조행렬의 기대값 $\mu$ 와 분산 $\sigma^2$ 을 계산하는 데 의존한다.
• 레마 2.6 과 2.9 는 스체르 보조행렬의 평균 $\mu$ 와 분산 $\sigma^2$ 을 유도하며, 이는 $\widetilde{A}$ 의 행렬식을 아래로 유계화하는 데 사용된다.
• 행렬식은 스체르 보조행렬의 표현을 통해 표현되며, 이는 농도 불등식과 확률론적 추정치를 사용하여 $\mathcal{D}(n)$ 을 유계화하는 데 유용하다.
• 이론적 하한은 $\mu$, $\eta$, $h$ 를 포함하는 부등식을 사용하여 유도되며, 이는 $d$ 와 $h$ 에 대한 $\mathcal{R}(n)$ 의 명시적 하한을 제공한다. $n \to \infty$ 일 때의 점근적 분석도 포함된다.
• 분석은 리비니스키의 결과를 활용하여 $d^2/h^{1/2} \to 0$ 이며, 이는 큰 $n$ 에서도 하한이 유효함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률론적 방법을 통해 $d = n - h \geq 2$ 이고 $n \to \infty$ 일 때 $\mathcal{R}(n)$ 에 대한 상수 하한을 얻을 수 있는가? 여기서 $h$ 는 $n$ 이하의 최대 힐베르트 순서이다.
• RQ2 스체르 보조행렬을 갖는 경계 힐베르트 행렬 기반의 확률론적 구성으로부터 $\mathcal{R}(n)$ 에 대한 최선의 가능한 하한은 무엇인가?
• RQ3 작은 $d$ 와 큰 $n$ 에서 새로운 하한이 문헌에 있는 기존의 결정론적 및 확률론적 하한과 어떻게 비교되는가?
• RQ4 힐베르트 추측이 $\mathcal{R}(n)$ 에 대한 보편적인 양의 하한을 암시하는가? 그리고 이는 확률론적 방법으로 증명될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $d \leq 3$ 에 대해 논문은 $\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2}$ 를 증명하며, 이는 힐베르트 추측이 참이라면 보편 하한 약 0.1133 을 의미한다.
• 모든 $d > 3$ 에 대해 $\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2} \left(1 - d^2 (\pi/(2h))^{1/2}\right)$ 를 확립하였으며, $n \to \infty$ 일 때 $d^2/h^{1/2} \to 0$ 이므로 이는 $(\pi e/2)^{-d/2}$ 에 수렴한다.
• $\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2}$ 는 $d \in \{2,3\}$ 에 대해 이전의 하한보다 순서 $n^{1/2}$ 만큼 더 날카롭고, 고정된 $d$ 에 대해 충분히 큰 $n$ 에 대해 항상 성립한다.
• 수치적 비교 결과, 확률론적 경계 방법이 결정론적 경계 및 소수 방법보다 뛰어나며, $n=668$, $d=4$ 일 때 $\mathcal{R}(n) \approx 0.0169$ 이지만 결정론적 소수 방법은 약 $2.6 \times 10^{-4}$ 에 불과하다.
• $\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2}$ 는 $n \geq 135$ 이고 $d=3$ 일 때 쿠쿠비노스키 등이 제시한 $\mathcal{D}(n) \geq (n+1)^{(n-1)/2}$ 보다 더 날카롭다.
• 논문은 $d \leq 3$ 일 때 $\mathcal{R}(n)$ 의 하한이 $n$ 에 의존하지 않고 오직 $d$ 에만 의존함을 확인하였으며, 이는 이전의 하한이 0으로 감소하는 것과는 상당한 개선이다.