[논문 리뷰] Probabilistic reachable and invariant sets for linear systems with correlated disturbance

Mirko Fiacchini, Teodoro Álamo|arXiv (Cornell University)|2020. 04. 15.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 33인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 상관관계가 있는 확률적 외란을 갖는 선형 이산시간 시스템에 대해 확률적 도달 가능 집합과 불변 집합을 계산하기 위한 볼록 최적화 기반 방법을 제안한다. 와이즈의 공분산 및 상관관계 행렬에 대한 경계를 캡처하는 새로운 '상관관계 경계(correlation bound)'를 도입함으로써, 외란 시퀀스의 독립성 또는 정상성을 가정하지 않고도 확률적 집합의 외부 근사치를 구성할 수 있다.

ABSTRACT

In this paper a constructive method to determine and compute probabilistic reachable and invariant sets for linear discrete-time systems, excited by a stochastic disturbance, is presented. The samples of the disturbance signal are not assumed to be uncorrelated, only a bound on the correlation matrices is supposed to be known. The concept of correlation bound is introduced and employed to determine probabilistic reachable sets and probabilistic invariant sets. Constructive methods for their computation, based on convex optimization, are given.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 상관관계가 있는 외란이 존재할 경우 확률적 도달 가능 집합과 불변 집합을 계산할 수 있는 방법의 부재를 해결한다. 이는 확률 제어 분야에서 흔하지만 종종 간과되는 상황이다.
• 기존 방법들이 외란이 상관관계가 없거나 독립적임을 가정하는 데서 비롯되는 제약을 극복한다. 이는 실제 시스템에서는 흔히 현실적이지 않다.
• 외란 분포의 전체 지식이 필요 없이 상관관계 행렬에 대한 경계만을 이용해 확률적 도달 가능 집합과 불변 집합의 외부 근사치를 구성할 수 있는 구축 가능한 방법을 제공한다.
• 확률적 보장 하에 확률 제약 조건, 재귀적 타당성 및 안정성을 확보할 수 있도록, 이러한 집합을 확률적 모델 예측 제어(SMPC)에 활용할 수 있도록 한다.
• 존재하는 확률적 불변성 결과를 상관관계가 있는 외란의 경우로 일반화하기 위해 새로운 상관관계 경계 개념을 도입한다.

제안 방법

• 시스템 행렬 A를 포함한 재귀 부등식을 만족하는, 상태 시퀀스와 외란 시퀀스 간의 기대 상관관계를 경계하는 '상관관계 경계' Γw를 정의한다.
• 상관관계 경계 조건을 볼록 최적화를 통해 해결할 수 있는 선형 행렬 부등식(LMI)으로 공식화하여, 가능한 한 가장 날카로운 Γw를 찾는다.
• 상관관계 경계를 이용해 B(W, ρ) 형태의 확률적 불변 타원체를 구성한다. 여기서 W는 Γw와 시스템 동역학으로부터 유도된 양의 정부호 행렬이다.
• 카이제곱 분포를 활용해 크기 파라미터 ρ를 원하는 위반 확률 pv와 연결함으로써, 상태 위반 확률이 pv 이하로 제한됨을 보장한다.
• 초기 집합에서 시작하는 상태 궤적의 합집합으로서 확률적 도달 가능 집합을 구성하며, 이때 불변 타원체를 종단 조건으로 사용한다.
• 볼록 최적화를 활용해 상관관계 경계 하에서 확률적 불변성 조건을 만족하는 최소 크기의 불변 타원체를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 외란 시퀀스가 i.i.d.가 아니라 시간에 따라 상관관계가 있을 경우, 선형 시스템에 대해 확률적 도달 가능 집합과 불변 집합을 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 확률적 집합의 구축 가능성을 보장하는 시간적 상관관계의 적절한 수학적 특성은 무엇인가?
• RQ3 상관관계 행렬에 대한 부분 지식이 있을 때, 외부 근사치를 계산할 수 있는 볼록 최적화 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ4 외란의 독립성 또는 정상성을 가정하지 않고도, 결과 집합이 원하는 위반 확률을 충족함을 어떻게 보장할 수 있는가?
• RQ5 상관관계 경계와 결과 확률적 불변 타원체의 크기 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 상관관계 경계 개념은 외란의 일반적인 시간적 상관관계 하에서도 확률적 도달 가능 집합과 불변 집합을 특성화할 수 있게 하며, 독립성 또는 정상성을 요구하지 않는다.
• 이 방법은 볼록 최적화를 통해 확률적 불변 타원체를 계산하며, 타원체의 크기는 상관관계 경계를 포함하는 LMI의 해에 의해 결정된다.
• 주어진 위반 확률 pv에 대해, 이 방법은 Monte Carlo 시뮬레이션(1000개의 초기 상태)을 통해 검증된 바에 따르면, 불변 집합의 상태 위반 확률이 pv 이하로 제한됨을 보장한다.
• 수치 예제에서는 조건부 외란이 존재하는 상황에서도 100개의 시간 단계 동안 위반 빈도가 원하는 확률 수준(예: 10%, 20%, ..., 50%) 내에 안정적으로 놓임을 보여준다.
• 이 방법은 모델 불확실성에 대해 강건하다: 상관관계 경계는 완전한 분포 지식이 아닌 공분산 및 상관관계 행렬의 경계로부터만 계산된다.
• 이 방법은 감쇠형 및 일정한 외란 시나리오 모두에 적용 가능하며, 상관관계 경계 조건에서 다른 α 및 β 매개변수를 갖는 두 가지 서로 다른 수치 사례를 통해 이를 입증하였다.