[논문 리뷰] Probability density of lognormal fractional SABR model

Jirô Akahori, Xiaoming Song외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 26.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 분수 Brown 운동에 의해 구동되는 lognormal 분수 SABR 모델의 밀도 함수에 대한 소시간 점근 전개를 유도한다. Fourier 기반 다리 표현과 Laplace 점근 방법을 사용하여, Malliavin 미적분학과 기하학적 분석을 통해 비-마르코프(non-Markovian) 분수 설정으로 고전적 SABR 결과를 확장한, 당행성 볼라티리티의 주요 순서 근사치를 확립한다.

ABSTRACT

Instantaneous volatility of logarithmic return in the lognormal fractional SABR model is driven by the exponentiation of a correlated fractional Brownian motion. Due to the mixed nature of driving Brownian and fractional Brownian motions, probability density for such a model is less studied in the literature. We show in this paper a bridge representation for the joint density of the lognormal fractional SABR model in a Fourier space. Evaluating the bridge representation along a properly chosen deterministic path yields a small time asymptotic expansion to the leading order for the probability density of the fractional SABR model. A direct generalization of the representation to joint density at multiple times leads to a heuristic derivation of the large deviations principle for the joint density in small time. Approximation of implied volatility is readily obtained by applying the Laplace asymptotic formula to the call or put prices and comparing coefficients.

연구 동기 및 목표

• 분수 Brown 운동에 의해 구동되는 lognormal 분수 SABR 모델에 대한 분석적 밀도 결과의 부족을 해결하기 위해.
• 고전적 SABR 점근 프레임워크를 비-마르코프, 분수 볼라티리티 과정으로 확장하기 위해.
• Fourier 공간 다리 표현을 사용하여 전이 밀도에 대한 소시간 점근 전개를 유도하기 위해.
• 다중 시간에서의 공동 밀도에 대한 힌트적인 대칭 원리(heuristic large deviations principle)를 유도하기 위해.
• 옵션 가격에 적용된 Laplace 점근 공식을 통해 당행성 볼라티리티 근사치를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• lognormal 분수 SABR 모델의 공동 밀도를 표현하기 위해 Fourier 공간에서의 다리 표현을 사용한다.
• 다리 표현을 평가하고 주요 순서 점근 행동을 추출하기 위해 결정론적 경로 근사를 적용한다.
• Brown 운동과 분수 Brown 운동의 혼합 성격을 다루기 위해 Malliavin 미적분학과 기하학적 분석을 활용한다.
• 옵션 가격에 Laplace 점근 공식을 적용하여 당행성 볼라티리티 근사치를 도출한다.
• 밀도 적분을 단순화하고 주요 항들을 분리하기 위해 좌표 변환을 수행한다.
• 작은 시간 동안 최소 작용 경로의 작은 이웃 외부의 기여가 무시 가능하다는 것을 보여주기 위해 지수 감쇠 추정을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 Brown 운동의 비-마르코프 성격을 고려할 때, 소시간에서 lognormal 분수 SABR 모델의 확률 밀도는 어떻게 근사할 수 있는가?
• RQ2 볼라티리티 과정이 분수 Brown 운동에 의해 구동될 경우, 전이 밀도의 주요 순서 점근 행동은 무엇인가?
• RQ3 분수 SABR 모델에서 다중 시간에서의 공동 밀도에 대해 힌트적인 대칭 원리(heuristic large deviations principle)를 도출할 수 있는가?
• RQ4 만기까지의 시간이 0에 접근함에 따라 분수 SABR 모델의 당행성 볼라티리티는 점근적으로 어떻게 행동하는가?
• RQ5 열핵 또는 전방 Kolmogorov 방정식이 존재하지 않는 상황에서 점근 밀도의 기하학적 또는 확률적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• Fourier 다리 표현과 Laplace 점근 분석을 사용하여 확률 밀도의 주요 순서 점근 전개가 도출되었다.
• 밀도에 대한 주요 기여는 최소 작용 경로 주변의 작은 이웃에서 비롯되며, 이 영역 외부에서는 지수 감쇠가 발생한다.
• Call/put 가격에 적용된 Laplace 방법을 통해 당행성 볼라티리티가 근사되었으며, 이는 SABR 프레임워크와 일치하지만 분수 볼라티리티로 확장된 공식을 제공한다.
• 점근 밀도가 $ t^{5/2} $에 비례하며, 계수는 작용 함수의 이阶도 도함수와 볼라티리티 파rameter에 따라 달라진다.
• Kolmogorov 방정식을 사용하지 않고도 고전적 SABR 점근 이론을 비-마르코프 설정으로 일반화하는 데 성공하였다.
• 유도 과정은 원래 SABR 모델의 핵심 기하학적 구조인 Poincaré 평면에서의 지오데식 거리가 분수 경우에서는 상실됨을 확인하였으며, 이는 새로운 분석 도구의 필요성을 시사한다.