[논문 리뷰] Probability Distribution of Velocity Circulation in Three Dimensional Turbulence

Alexander Migdal|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 22.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 8인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 3차원 난류의 통계장 이론을 개발하여, 타원형 고리 주위의 속도 순환을 기술하는 오일러 방정식에서 클레브시 순간해를 명시적으로 해석적으로 유도한다. 순환의 확률밀도함수(PDF)가 무한한 지수항의 합으로 구성되며, 직접 수치 시뮬레이션(DNS) 데이터와 6개 온도 수준에 걸쳐 R² > 0.9999로 일치하고, 고리 면적에 따른 순환 모멘트의 척도 법칙을 매우 정확하게 설명한다.

ABSTRACT

We elaborate the statistical field theory of Turbulence suggested in the previous paper \cite{M20a}. We clarify and simplify the basic Energy pumping equation of that theory and study mathematical properties of singular field configuration (instanton) which determine the tails of PDF for the velocity circulation around large loop $C$ in isotropic turbulence at highest Reynolds numbers. Explicit analytic solution is found for the Clebsch instanton in an Euler equation for a planar loop circulation problem. This solution for vorticity is has a term proportional to a delta function in normal direction to the minimal surface bounded by the loop. The smoothing of $δ$ functions in the vorticity in the full Navier-Stokes equations is investigated and exponential profile of smoothed singularity is found. The PDF for circulation is now an infinite sum of decreasing exponential terms $\EXP{- n |w|}\sqrt{\frac{n}{|w|}}$, with $ w = \fracΓ{Γ_0[C]}$, and $ Γ_0[C] \sim \sqrt{A_C} $ with minimal area $A_C$. The leading term fits with adjusted $R^2 = 0.9999$ the PDF tail found in DNS over more than six orders of magnitude. The area dependence of the ratio of the circulation moments $M_8/M_6$ fits with adjusted $R^2=0.9996$ the DNS in inertial range of square loop sizes from $100 $ to $500$ Kolmogorov scales. Thus, our theory explains DNS with high degree or confidence. For a flat loop we derive two-dimensional integral equation for the dependence of the scale $Γ_0[C] $ of circulation as a function of the shape of the loop (aspect ratio for rectangular loop

연구 동기 및 목표

• 이전 연구에서 제안된 난류의 통계장 이론에서 에너지 공급 방정식의 구조를 명확히 하고 단순화한다.
• 고레이놀즈 수가 매우 큰 등방성 난류에서 순환 PDF의 무거운 尾부를 지배하는 특이 필드 구성(순간해)의 수학적 구조를 조사한다.
• 오일러 방정식이 지배하는 평면 고리 순환 문제에서 클레브시 순간해에 대한 명시적 해석적 해를 유도한다.
• 나비에-스토크스 방정식에서 비선형성에 의한 비선형성의 정규화와 그가 순환 PDF에 미치는 영향을 연구한다.
• 직접 수치 시뮬레이션(DNS)을 통해 이론적 예측된 순환 PDF와 모멘트 척도 법칙을 다양한 고리 크기와 레이놀즈 수 범위에서 검증한다.

제안 방법

• 이전 연구에서 제안된 난류의 통계장 이론 내에서 에너지 공급 방정식을 수식화하고, 분석적 처리를 위해 그 구조를 단순화한다.
• 평면 고리 순환 문제에 대한 오일러 방정식을 풀어 클레브시 순간해에 대한 명시적 해석적 해를 도출한다. 이 해는 고리에 의해 둘러싸인 최소 표면에 수직인 방향으로 델타-함수 특이성을 가진 코어스터 필드를 포함한다.
• 완전한 나비에-스토크스 방정식에서 델타-함수 특이성의 부드러움을 분석하여, 정규화된 특이성에 대한 지수형 프로파일을 밝혀낸다.
• 순환 PDF를 감소하는 지수항의 무한합으로 유도한다: $\exp(-n|w|)\sqrt{n/|w|}$, 여기서 $w = \Gamma / \Gamma_0[C]$, $\Gamma_0[C] \sim \sqrt{A_C}$ 이고 $A_C$ 는 최소 표면적이다.
• 고리 형상에 따라 $\Gamma_0[C]$ 를 결정하는 이중 적분 방정식을 유도한다. 특히 직사각형 고리의 경우 종횡비 의존성에 대해 분석한다.
• 100에서 500 코름고로프 스케일에 이르는 고리 크기 범위에서 DNS 데이터와 이론적 예측된 PDF 꼬리와 순환 모멘트 비율 $M_8/M_6$ 를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 등방성 난류에서 순환 PDF의 꼬리에 영향을 주는 순간해의 해석적 구조는 무엇인가?
• RQ2 오일러 방정식 해에서 유도된 속도 코어스터 필드의 델타-함수 특이성은 나비에-스토크스 프레임워크에서 어떻게 정규화되는가?
• RQ3 순간해 이론이 예측하는 순환 PDF의 함수 형태는 무엇이며, DNS 데이터와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 이론적 예측이 관성 영역 내에서 고리 크기에 따라 순환 모멘트 비율, 예를 들어 $M_8/M_6$ 의 척도 법칙을 얼마나 잘 예측하는가?
• RQ5 순환 척도 $\Gamma_0[C]$ 는 고리의 형상, 특히 다양한 종횡비를 가진 직사각형 고리에서 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 평면 고리 순환 문제에서 클레브시 순간해에 대한 명시적 해석적 해를 도출하였으며, 이는 고리에 의해 둘러싸인 최소 표면에 수직인 방향으로 델타-함수 특이성을 가진 코어스터 필드를 포함한다.
• 나비에-스토크스 방정식에서 델타-함수 특이성이 정규화되면서 지수형 프로파일을 형성하며, 이는 순환 PDF의 기능적 형태를 뒷받침한다.
• 순환 PDF는 감소하는 지수항의 무한합으로 나타나며, $\exp(-n|w|)\sqrt{n/|w|}$, 여기서 $w = \Gamma / \Gamma_0[C]$ 이고 $\Gamma_0[C] \sim \sqrt{A_C}$ 이며 $A_C$ 는 최소 표면적이다.
• PDF 꼬리의 주요 항은 6개 온도 수준에 걸쳐 DNS 데이터와 매우 뛰어난 일치를 보이며 결정계수 $R^2 = 0.9999$ 를 기록한다.
• 이론적 예측된 순환 모멘트 비율 $M_8/M_6$ 는 관성 영역(100–500 코름고로프 스케일) 내에서 정사각형 고리에 대해 DNS 데이터와 $R^2 = 0.9996$ 로 일치하여 높은 예측 능력을 확인한다.
• 평면 고리의 경우, 고리 형상에 따라 $\Gamma_0[C]$ 를 결정하는 이중 적분 방정식을 유도하였으며, 이는 직사각형 고리의 종횡비 의존성을 연구하는 데 기여한다.