[논문 리뷰] Probability-free pricing of adjusted American lookbacks

A. P. Dawid, Steven de Rooij외 6명|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 확률론적 가정이나 시장 완전성의 가정 없이, 유동성 자산의 가격 경로만을 사용하여 조정된 아메리칸 룩백 옵션의 가격 설정과 헤지 방법을 제시한다. 핵심 결과는 이러한 옵션을 헤지하기 위해 필요한 최소 초깃금액이 $ X_0 \int_{X_0}^\infty G(x) x^{-2} \, dx $ 로 주어지며, 이는 게임 이론적 확률론에서 자연스럽게 유도되며 최대 가격 과정에서 유도된 위험 중립 측도에 대한 기대값과 대응된다.

ABSTRACT

Consider an American option that pays G(X^*_t) when exercised at time t, where G is a positive increasing function, X^*_t := \sup_{s\le t}X_s, and X_s is the price of the underlying security at time s. Assuming zero interest rates, we show that the seller of this option can hedge his position by trading in the underlying security if he begins with initial capital X_0\int_{X_0}^{\infty}G(x)x^{-2}dx (and this is the smallest initial capital that allows him to hedge his position). This leads to strategies for trading that are always competitive both with a given strategy's current performance and, to a somewhat lesser degree, with its best performance so far. It also leads to methods of statistical testing that avoid sacrificing too much of the maximum statistical significance that they achieve in the course of accumulating data.

연구 동기 및 목표

• 확률론적 가정 없이 다른 파생상품에 의존하지 않고 아메리칸 룩백 옵션의 가격 설정 및 헤지 방법을 개발하는 것.
• 가격 경로의 변화에 관계없이 옵션 수익 $ G(X_t^*) $ 를 완전히 헤지하기 위해 판매자가 필요한 최소 초깃금액을 규명하는 것.
• 항상 옵션 수익을 초월하는 자본을 보장하는 적합한 룩백 조정자(ADLs)와 단순 룩백 조정자(ASLAs)를 특성화하는 것.
• 이러한 옵션의 상한 가격과 최대 가격 과정에서 유도된 위험 중립 측도 사이의 관계를 설정하는 것.

제안 방법

• 게임 이론적 확률론을 사용하여 가격 경로에 대한 확률 측도를 가정하지 않고 상한 가격을 유도한다.
• 루크백 조정자(LA)는 초기 자본 1로 시작하는 투자 전략에 의해 지배될 수 있는 함수 $ F(X_t^*, X_t) $ 로 정의된다.
• 적합한 룩백 조정자(ALA)는 적분 조건 $ \int_1^\infty \frac{F(y)}{y^2} dy = 1 $ 에서 등호가 성립하는 최소의 함수로 특성화된다.
• 단지 $ X_t^* $ 에만 의존하는 단순 옵션의 경우, 상한 가격이 $ X_0 \int_{X_0}^\infty G(x) x^{-2} dx $ 로 주어지며, 이는 정규화 및 스케일링을 통해 도출된다.
• 이 접근법은 $[X_0, \infty)$ 에서 밀도 $ X_0 x^{-2} $ 를 가지는 자연스럽게 유도된 위험 중립 측도 $ Q_{X_0} $ 를 식별하며, 이 측도 하에서 상한 가격은 $ G(x) $ 의 기대값과 일치한다.
• 측도와 조정자로부터 유도된 스핀 함수 $ F^= $ 는 $ F^=(X) = F(X) + X P((X,\infty]) $ 로 정의되며, ALA 를 완전히 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확률론적 가정 없이 아메리칸 룩백 옵션의 수익 $ G(X_t^*) $ 를 헤지하기 위해 필요한 최소 초깃금액은 무엇인가?
• RQ2 초기 자본 1로 시작하는 전략에 의해 지배될 수 있는 함수 $ F $ 의 집합을 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ3 어떤 조건이 룩백 조정자가 적합하다는 것(지배 함수들 중 최소)을 보장하는가?
• RQ4 이러한 옵션의 상한 가격은 최대 가격 과정에서 유도된 위험 중립 측도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이 가격 공식은 $ X_t^* $ 와 $ X_t $ 의 양자에 의존하는 옵션으로 확장될 수 있으며, 고전적 방법과 비교해 보면 어떻게 되는가?

주요 결과

• 수익 $ G(X_t^*) $ 를 지급하는 아메리칸 룩백 옵션을 헤지하기 위해 필요한 최소 초깃금액은 $ X_0 \int_{X_0}^\infty G(x) x^{-2} dx $ 이며, 이는 어떤 가격 경로의 변화에 대해서도 헤징을 보장하는 최소 자본이다.
• 함수 $ F $ 가 적합한 단순 룩백 조정자(ASLA)임은 $ \int_1^\infty \frac{F(y)}{y^2} dy = 1 $ 이며, 이 경우 적분 조건에서 등호가 성립함을 의미한다.
• 옵션의 상한 가격은 $[X_0, \infty)$ 에서 밀도 $ X_0 x^{-2} $ 를 가지는 측도 $ Q_{X_0} $ 하에서 $ G(x) $ 의 기대값과 일치하며, 이는 게임 이론적 프레임워크에서 자연스럽게 도출된다.
• 특정 예시인 $ F(y) = \alpha y^{1-\alpha} $ 의 경우, 스핀 함수 $ F^=(X) = X^{1-\alpha} $ 를 통해 해당 ALA 가 도출되며, 측도 $ P $ 는 $ (1,\infty) $ 에서 밀도 $ \alpha(1-\alpha)y^{-1-\alpha} $ 를 가진다.
• 스핀 함수 $ F^= $ 는 $ F(X) + X P((X,\infty]) $ 로 정의되며, ALA 를 완전히 특성화하며, 로그 경우 $ X \geq e^{1+\alpha} $ 에서 $ F^=(X) = (1+\alpha)^\alpha X \ln^{-\alpha}X $ 를 만족한다.
• 이 프레임워크는 $ X_t^* $ 와 $ X_t $ 의 양자에 의존하는 옵션으로 확장 가능하며, 측도의 혼합 $ P_c = (1-c)P + c\delta_\infty $ 을 통해 ALA 가 구성되며, 자본 과정에 대한 명시적 표현이 도출된다.