[논문 리뷰] Probability Measures and Effective Randomness

Jan Reimann, Theodore A. Slaman|ArXiv.org|2007. 07. 10.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 실수 $x$에 대해 어떤 확률 측도 $\mu$ 가 존재하여 $x$가 $\mu$에 대해 무작위가 되는지 조사한다. 비계산 가능한 모든 실수 $x$는 그러한 측도를 갖는다는 것을 보이며, 모든 실수 중에서 가чёт수 이외의 실수들에 대해서는 연속 측도가 존재하여 $x$가 무작위가 되도록 한다. 핵심 결과는 $x$의 논리적 복잡성과 무작위성 존재성을 증명하기 위해 필요한 체계적 강도 사이의 연결을 보여주며, 더 높은 산술 수준의 무작위성은 연속 멱집합의 반복을 더 많이 요구한다.

ABSTRACT

We study the question, ``For which reals $x$ does there exist a measure $μ$ such that $x$ is random relative to $μ$?'' We show that for every nonrecursive $x$, there is a measure which makes $x$ random without concentrating on $x$. We give several conditions on $x$ equivalent to there being continuous measure which makes $x$ random. We show that for all but countably many reals $x$ these conditions apply, so there is a continuous measure which makes $x$ random. There is a meta-mathematical aspect of this investigation. As one requires higher arithmetic levels in the degree of randomness, one must make use of more iterates of the power set of the continuum to show that for all but countably many $x$'s there is a continuous $μ$ which makes $x$ random to that degree.

연구 동기 및 목표

• 어떤 실수 $x$에 대해 확률 측도 $\mu$ 가 존재하여 $x$가 $\mu$에 대해 무작위가 되는지, 그리고 $\mu$ 가 $x$에 집중되지 않는 조건을 규명한다.
• 연속(비원자적) 측도 $\mu$ 가 존재하여 $x$가 $\mu$-무작위가 되는 실수 $x$를 특성화한다.
• 실수 $x$의 무작위성의 산술 수준과 그러한 측도가 존재함을 증명하기 위해 필요한 체계적 강도 사이의 메타수학적 연결을 조사한다.
• Borel 결정성과 $\omega$의 멱집합의 반복이 각 수준에서 비계산적 무작위 실수 집합의 가산성을 증명하는 데 어떻게 기여하는지 분석한다.

제안 방법

• 임의의 확률 측도에 대해 Martin-Löf 무작위성을 사용하며, 균일 테스트와 효과적 영역집합을 통해 무작위성을 정의한다.
• Kumabe-Slaman 포스팅을 적용하여, $x \notin L_{\beta_n}$ 이면 $L_{\beta_n}[G]$ 내에서 $x$가 $\mu$에 대해 무작위가 되는 일반적 실수 $G$ 를 구성한다.
• Borel 결정성과 절대성 원리를 활용하여, $x$가 $L_{\beta_n}$ 에 속하지 않으면, $x$가 어떤 연속 측도 $\mu$ 에 대해 무작위가 되는 것을 보인다.
• 구성 가능한 유니버스 $L$ 내에서 마스터 코드를 분석하여, $M_\alpha$ 가 $\mu$에 대해 무작위이면 $M_\alpha$ 는 $\mu$ 에 대해 재귀적이어야 한다는 점을 보이고, 이는 모순을 일으킨다.
• $\beta \leq \alpha$ 에 대해 귀납법을 사용하여 모든 마스터 코드 $M_\beta$ 가 $\mu$ 에 대해 재귀적임을 보이며, 귀납 단계에서는 Lemma 5.6과 Lemma 5.7을 활용한다.
• Borel 결정성을 사용하여 $\operatorname{NCR}_n$ (n-무작위 실수의 집합) 이 가산적임을 증명하고, $\mathsf{ZFC}^{-}_k$ 가 모든 $n$ 에 대해 이 사실을 증명할 수 없다는 것을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 실수 $x$ 에 대해 확률 측도 $\mu$ 가 존재하여 $x$ 가 $\mu$ 에 대해 무작위가 되는가?
• RQ2 그러한 측도 $\mu$ 가 연속적(비원자적)이어서 $\mu$ 가 $x$ 에 집중되지 않는 조건은 언제 성립하는가?
• RQ3 $x$ 의 논리적 복잡성과 $x$ 가 무작위가 되는 연속 측도가 존재함을 증명하기 위해 필요한 체계적 강도(예: $\mathcal{P}(\omega)$ 의 반복 횟수) 사이의 연결 고리는 무엇인가?
• RQ4 왜 Borel 결정성은 $\operatorname{NCR}_n$ 의 가산성을 증명하는 데 필수적인가? 그 체계적 비용은 무엇인가?
• RQ5 $\mathsf{ZFC}^{-}_k$ 는 모든 $n$ 에 대해 $\operatorname{NCR}_n$ 이 가산적임을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 비계산 가능한 실수 $x$ 에 대해, $x$ 가 $\mu$ 에 대해 무작위가 되고 $\mu$ 가 $x$ 에 집중되지 않는 확률 측도 $\mu$ 가 존재한다.
• 모든 실수 중에서 가чёт수 이외의 실수들에 대해, 연속 측도 $\mu$ 가 존재하여 $x$ 가 $\mu$-무작위가 된다.
• $\operatorname{NCR}_n$ (n-무작위 실수의 집합) 이 가산적임은 Borel 결정성의 전면적 강도에 의존하며, 이는 어떤 고정된 $k$ 에 대해서도 $\mathsf{ZFC}^{-}_k$ 에서는 증명될 수 없다.
• $\operatorname{NCR}_n$ 의 가산성 증명은 Kumabe-Slaman 포스팅을 통해 일반적 실수 $G$ 가 존재함을 기반으로 하며, 이에 따라 $x$ 가 $L_{\beta_n}[G]$ 내에서 $\mu$ 에 대해 무작위가 된다.
• $x$ 가 $L_{\beta_n}$ 에 속하지 않으면, $x$ 는 어떤 연속 측도 $\mu$ 에 대해 무작위가 되며, 이는 Borel 결정성에 기반한 콘(cone) 추론을 통해 증명된다.
• $L_{\beta_k}$ 내의 마스터 코드 $M_\alpha$ 에 대해서는 연속 측도가 존재하여 $x$ 가 무작위가 되는 것이 실패한다. 왜냐하면 만약 무작위이면 $\mu$ 에 대해 재귀적이어야 하기 때문이다. 이는 무작위성과 모순된다.