[논문 리뷰] Probability measures related to geodesics in the space of Kähler metrics

Bo Berndtsson|ArXiv.org|2009. 07. 10.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 14인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 헤르무트 노름 공간에서의 지그로드릭스와 관련된 확률 측도가 무한차원 켈러 메트릭 공간으로의 약한 수렴을 확립한다. 지그로드릭스의 접선 벡터의 스펙트럼 측도를 분석함으로써, 근사 매개수 $k \to \infty$일 때 이러한 측도의 모멘트 수렴을 증명하며, 이는 기존의 지그로드릭스 거리와 도널드슨의 $Z$-함수에 대한 결과를 모멘트 수렴을 통해 복원한다.

ABSTRACT

We associate certain probability measures on $\R$ to geodesics in the space $\H_L$ of positively curved metrics on a line bundle $L$, and to geodesics in the finite dimensional symmetric space of hermitian norms on $H^0(X, kL)$. We prove that the measures associated to the finite dimensional spaces converge weakly to the measures related to geodesics in $\H_L$ as $k$ goes to infinity. The convergence of second order moments implies a recent result of Chen and Sun on geodesic distances in the respective spaces, while the convergence of first order moments gives convergence of Donaldson's $Z$-functional to the Aubin-Yau energy. We also include a result on approximation of infinite dimensional geodesics by Bergman kernels which generalizes work of Phong and Sturm.

연구 동기 및 목표

• 선형 번들의 양의 곡률 메트릭 공간 $\mathcal{H}_L$ 내 지그로드릭스에 실수축 $\mathbb{R}$ 상의 확률 측도를 부여하는 것.
• 헤르무트 노름의 유한차원 대칭 공간 $\mathcal{H}_k$ 상에 유사한 측도를 정의하는 것.
• $k \to \infty$일 때 $\mathcal{H}_k$ 상의 스펙트럼 측도가 $\mathcal{H}_L$ 상의 측도로 약하게 수렴함을 증명하는 것.
• 모멘트 수렴이 지그로드릭스 거리와 도널드슨의 $Z$-함수에 대한 기존 결과를 복원함을 보이는 것.

제안 방법

• 지그로드릭스의 접선 벡터인 $A_k$에 대해 $k^{-1}A_k$의 정규화된 스펙트럼 측도 $\nu_k$를 정의하는 것.
• $\nu_k$의 두 번째 모멘트를 $\mathcal{H}_k$ 내 점들 간의 정규화된 지그로드릭스 거리와 연결하는 것.
• 무한차원 지그로드릭스 $\phi^t$를 몽제-암페르 방정식 $(i\partial\bar\partial\phi^t)^{n+1} = 0$을 통해 정의하는 것.
• 지그로드릭스와 관련된 연산자 $T_{k,\xi}$의 스펙트럼 자료를 이용해 $\mathbb{R}$ 상의 확률 측도를 구성하는 것.
• 베르그만 커널의 점근적 성질과 헤르망더 $L^2$ 추정을 사용하여 $B_{t,k}$와 $B_{\phi^t,k}$를 비교함으로써 균일한 근사성을 증명하는 것.
• 토플리츠 연산자의 점근적 성질과 스펙트럼 섭동 이론을 활용하여 모멘트 수렴을 통해 스펙트럼 측도의 약한 수렴을 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한차원 공간 $\mathcal{H}_k$ 내 지그로드릭스와 관련된 확률 측도가 $k \to \infty$일 때 무한차원 공간 $\mathcal{H}_L$ 내 측도로 수렴하는가?
• RQ2 이 측도의 두 번째 모멘트 수렴이 지그로드릭스 거리 수렴에 대한 Chen과 Sun의 결과를 복원할 수 있는가?
• RQ3 첫 번째 모멘트 수렴이 도널드슨의 $Z$-함수의 아불리-요 에너지 함수로의 수렴을 암시하는가?
• RQ4 큰 $k$ 근처에서 베르그만 커널은 $\mathcal{H}_L$ 내 지그로드릭스를 어떻게 근사하는가?
• RQ5 지그로드릭스와 관련된 토플리츠 연산자의 스펙트럼 측도의 점근적 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 지그로드릭스와 관련된 확률 측도 $\nu_k$는 $k \to \infty$일 때 $\mathcal{H}_L$ 내 대응 측도로 약하게 수렴한다.
• $\nu_k$의 두 번째 모멘트는 $\mathcal{H}_L$ 내 정규화된 지그로드릭스 거리의 제곱으로 수렴하며, 이는 Chen과 Sun의 지그로드릭스 거리 수렴 결과를 복원한다.
• $\nu_k$의 첫 번째 모멘트는 정규화된 도널드슨 $Z$-함수로 수렴하며, 이는 아불리-요 에너지 함수로의 수렴을 암시한다.
• 토플리츠 연산자 $T_{k,\xi}$의 스펙트럼 측도는 $\xi$에 의한 체적 형식 $\omega^\phi_n/\mathrm{Vol}$의 후퇴로 수렴하며, 핵심적인 점근적 스펙트럼 결과를 확립한다.
• 지그로드릭스와 관련된 베르그만 커널 $B_{t,k}$는 $|k^{-1}\log B_{t,k} - k^{-1}\tau - \phi^t| \leq Ck^{-1}\log k$를 만족하여 균일한 근사를 보여준다.
• 이 증명은 곡률 추정과 베르그만 커널의 극값 성질을 통해 $B_{t,k}$와 $B_{\phi^t,k}$를 비교함으로써 이루어지며, 큰 $a$에 대해 레미마 4.1을 사용하여 하한을 확립한다.