[논문 리뷰] Probing the entanglement of operator growth

Dimitrios Patramanis|arXiv (Cornell University)|2021. 11. 05.

Molecular spectroscopy and chirality인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 Krylov 복잡도, 엔트로피 부정성, 바나흐 엔트로피, 엔트로피 용량과 같은 양자 정보 도구를 사용하여 SU(1,1) 및 SU(2) 대칭을 가진 양자 시스템에서 연산자 성장에 대해 연구한다. 두 모드 코herent 상태를 활용함으로써 저자들은 보편적인 연산자 성장 특성을 입증하였으며, 이는 보편 연산자 성장 가설과 일치한다. 이는 대칭 기반 방법이 Lanczos 알고리즘을 회피할 수 있음을 보여주며, 계산을 크게 단순화하면서도 핵심 역학적 통찰을 유지함을 시사한다.

ABSTRACT

In this work we probe the operator growth for systems with Lie symmetry using tools from quantum information. Namely, we investigate the Krylov complexity, entanglement negativity, von Neumann entropy and capacity of entanglement for systems with SU(1,1) and SU(2) symmetry. Our main tools are two-mode coherent states, whose properties allow us to study the operator growth and its entanglement structure for any system in a discrete series representation of the groups under consideration. Our results verify that the quantities of interest exhibit certain universal features in agreement with the universal operator growth hypothesis. Moreover, we illustrate the utility of this approach relying on symmetry as it significantly facilitates the calculation of quantities probing operator growth. In particular, we argue that the use of the Lanczos algorithm, which has been the most important tool in the study of operator growth so far, can be circumvented and all the essential information can be extracted directly from symmetry arguments.

연구 동기 및 목표

• 리만 대칭군을 가진 양자 시스템에서 연산자 성장의 엔트로피 구조와 역학을 조사하기 위해.
• Krylov 복잡도 및 엔트로피 부정성과 같은 양자 정보 측정치가 SU(1,1) 및 SU(2) 대칭을 가진 시스템에서 보편적인 행동을 보이는지 테스트하기 위해.
• 특히 두 모드 코herent 상태를 활용한 대칭 기반 방법이 연산자 성장 탐사에서 Lanczos 알고리즘을 대체할 수 있음을 보여주기 위해.
• 연산자 성장의 맥락에서 conformal field theory 구성과 코herent 상태 표현 간의 직접적 연관성을 확립하기 위해.

제안 방법

• 연구는 SU(1,1) 및 SU(2) 군에 대한 변환 성질을 활용하여 두 모드 코herent 상태를 기반으로 연산자 성장을 분석한다.
• Krylov 복잡도는 Krylov 부분공간 내에서 연산자의 시간 진화를 통해 계산되며, 명시적 Lanczos 재귀를 피하기 위해 대칭 적응 상태를 사용한다.
• 엔트로피 부정성, 바나흐 엔트로피, 엔트로피 용량은 코herent 상태 분해로부터 유도된 감소 밀도 행렬을 사용하여 평가된다.
• 저자들은 채널 주요 연산자와 모드 전개를 통해 SU(1,1) 코herent 상태를 conformal field theory 기법을 사용해 구성한다.
• 최고 무게 상태에 대해 이동 연산자 $ D(\xi) = e^{\xi L_{-1} - \bar{\xi}L_1} $ 를 적용하여 알려진 모드 계수를 가진 코herent 상태를 생성한다.
• 결과로 유도된 상태 계수는 CFT 이원 함수로부터 유도되며, $ \psi_n = (1 - |z|^2)^h z^n \binom{2h + n - 1}{2h - 1} $ 로 표현되며, 대칭 기반 구성과 일치한다.

Figure 1: Krylov complexity for systems with SU(1,1) symmetry as a function of $r$ . The curves depicted are for $n_{0}=0,1,2,3,4,5$ . We observe that for bigger $n_{0}$ the exponential rise of the complexity starts sooner.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Krylov 복잡도 및 엔트로피 부정성과 같은 양자 정보 탐사 도구가 SU(1,1) 및 SU(2) 대칭을 가진 시스템에서 보편적인 행동을 보이는가?
• RQ2 군 대칭과 코herent 상태 표현을 활용함으로써 연산자 성장 계산에서 Lanczos 알고리즘을 피할 수 있는가?
• RQ3 혼돈적(SU(1,1)) 및 통합적(SU(2)) 시스템 간에 엔트로피 구조와 복잡도 성장은 어떻게 다를까?
• RQ4 conformal field theory 기법을 통해 연산자 성장 연구에서 사용된 동일한 코herent 상태 구조를 어느 정도 재구성할 수 있는가?
• RQ5 두 모드 코herent 상태는 연산자 진화의 전체 엔트로피 및 복잡도 역학을 어떻게 코딩하는가?

주요 결과

• Krylov 복잡도, 엔트로피 부정성, 바나흐 엔트로피, 엔트로피 용량은 모두 SU(1,1) 및 SU(2) 시스템 전반에서 보편 연산자 성장 가설과 일치하는 보편적 특성을 나타낸다.
• 두 모드 코herent 상태의 사용은 Lanczos 알고리즘을 도입하지 않고도 모든 주요 연산자 성장 탐사 도구를 직접 계산할 수 있게 하여 계산을 크게 단순화한다.
• SU(1,1)의 경우 CFT로부터 유도된 코herent 상태 계수는 대칭 기반 구성과 일치하며, $ \psi_n = (1 - |z|^2)^h z^n \binom{2h + n - 1}{2h - 1} $ 로 표현되며, 일관성을 확인한다.
• 연산자 성장의 엔트로피 구조는 기초 대칭에 민감하게 반응하며, SU(1,1)(혼돈적)는 SU(2)(통합적)보다 더 빠른 성장과 더 높은 엔트로피를 보인다.
• 정규화 인자 $ e^{ah} = (1 - |z|^2)^h $ 는 CFT 이원 함수로부터 유도되며, conformal invariance를 통한 코herent 상태 구성의 타당성을 검증한다.
• 결과는 대칭 기반 방법이 연산자 역학 탐사에서 수치적 방법인 Lanczos 알고리즘에 비해 강력하고 효율적인 대안을 제공한다는 것을 확인한다.

Figure 2: $\varphi_{n}$ as function of $n$ . The chosen parameters for this graph are $n_{0}=2$ and $r$ takes values from 1 to 2.6 in steps of 0.2. This is essentially the spreading of the wavefunction that was observed in earlier works.