[논문 리뷰] Problem-Driven Scenario Clustering in Stochastic Optimization

Julien Keutchayan, Janosch Ortmann외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 22.

Economic and Environmental Valuation인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 목적함수에 미치는 영향을 기반으로 대표 시나리오를 선택하여 구현 오차를 최소화하는 문제 중심 시나리오 군집화 방법을 제안한다. 비용 공간에서가 아니라 결과 공간에서가 아닌 시나리오를 군집화함으로써, 분포 기반 접근법과 몬테카를로 샘플링을 능가하며, 극적으로 감소된 시나리오 집합을 사용하여 거의 최적의 해를 달성한다. 예를 들어, 기존에 6시간이 소요되는 시설 배치 문제를 단일 시나리오로 해결할 수 있다.

ABSTRACT

In stochastic optimisation, the large number of scenarios required to faithfully represent the underlying uncertainty is often a barrier to finding efficient numerical solutions. This motivates the scenario reduction problem: by find a smaller subset of scenarios, reduce the numerical complexity while keeping the error at an acceptable level. In this paper we propose a novel and computationally efficient methodology to tackle the scenario reduction problem when the error to be minimised is the implementation error, i.e. the error incurred by implementing the solution of the reduced problem in the original problem. Specifically, we develop a problem-driven scenario clustering method that produces a partition of the scenario set. Each cluster contains a representative scenario that best reflects the conditional objective values in each cluster of the partition to be identified. We demonstrate the efficiency of our method by applying it to two challenging stochastic combinatorial optimization problems: the two-stage stochastic network design problem and the two-stage facility location problem. When compared to alternative clustering methods and Monte Carlo sampling, our method is shown to clearly outperform all other methods.

연구 동기 및 목표

• 과도한 시나리오 수로 인해 계산적으로 해결이 불가능한 대규모 스토하스틱 최적화 문제를 해결하기 위해.
• 구현 오차(감소된 문제와 원래 문제의 최적 해 간의 격차)를 최소화하면서 시나리오 집합을 줄이기 위해.
• 확률 분포 측도에 의존하는 것이 아니라 문제의 구조(목적함수 및 제약 조건)를 활용하는 군집화 방법을 개발하기 위해.
• 네트워크 설계 및 시설 배치와 같은 두 가지 과도한 조합 최적화 문제에서 제안된 방법의 뛰어난 성능을 입증하기 위해.
• 문제에 특화된 오차 측도를 고려하는 전통적 시나리오 감소 방법에 대한 계산 효율적인 대안을 제공하기 위해.

제안 방법

• 각 시나리오의 조건부 목적함수 값에 기반해 시나리오를 군집화하며, 각 군집은 그 그룹 내에서 기대 비용을 최소화하는 시나리오로 표현된다.
• 원래의 결과 공간(ℝ^d)이 아니라 비용 값의 공간(ℝ)에서 작동하며, 문제의 목적함수를 유사도 측도로 사용한다.
• 알고리즘은 두 단계로 구성된다: (1) 각 시나리오에 대해 보완 비용을 계산하기 위해 부분 문제를 풀고, (2) 시나리오를 군집에 할당하고 대표 시나리오를 선택하기 위해 혼합정수분할 문제를 풀기.
• 대표 시나리오는 확률을 부여받아 원래 문제를 근사하는 감소된 문제를 구성한다.
• 이 방법은 기저 확률 분포에 대한 지식이 필요로 하지 않으며, 시나리오 데이터와 문제의 비용 구조만으로 작동한다.
• 이 방법은 두 단계 알고리즘을 통해 적용되며, 첫 번째 단계에서는 보완 비용 행렬을 계산하고, 두 번째 단계에서는 최적의 군집 대표 시나리오를 식별하기 위해 혼합정수계획문제를 푼다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 문제의 목적함수를 유사도 측도로 사용하는 시나리오 감소 방법이 분포 기반 군집화보다 구현 오차 측면에서 뛰어나게 성능을 발휘할 수 있는가?
• RQ2 스토하스틱 정수계획문제에서 비용 공간에서의 군집화가 결과 공간에서의 군집화보다 얼마나 효과적인가?
• RQ3 문제 인지 군집화를 통해 선택된 소수의 대표 시나리오가 대규모 스토하스틱 문제에서 거의 최적의 성능을 달성할 수 있는가?
• RQ4 문제 중심 대비 분포 기반 시나리오 감소를 사용할 경우 계산 비용과 해 품질 간의 상충 관계는 어떠한가?
• RQ5 이 방법을 통해 선택된 단일 대표 시나리오는 솔루션 품질과 시간 측면에서 전체 시나리오 집합을 능가할 수 있는가?

주요 결과

• 이중 단계 스토하스틱 네트워크 설계 문제에서 CSSC 방법은 75개의 시나리오 중 10개만 사용하여 85% 이상의 인스턴스를 10% 이내의 최적성 격차로 해결했으며, k-medoids(36%) 및 몬테카를로(1%)보다 뛰어난 성능을 보였다.
• 시설 배치 문제에서는 CSSC 알고리즘이 40분 이내에 최적 해에 5% 이내의 최적성 격차를 가진 해를 도출했고, 100개의 시나리오를 포함한 전체 문제의 경우 6시간이 소요되었으며 메모리 제약 조건에서 수렴하지 못했다.
• CSSC 알고리즘은 10개 인스턴스 전반에서 최고 또는 근접 최고의 시나리오를 일관되게 선택했으며, 60%의 경우 최적의 시나리오를 선택했고, 100%의 경우 상위 3개 이내의 시나리오를 선택했다.
• 네트워크 설계 문제에서 K=1일 때 CSSC 방법은 평균 99.7%의 해 품질을 달성했고, 몬테카를로의 97.7% 및 k-medoids의 99.3%를 상회했다.
• CSSC 알고리즘의 계산 비용은 간단한 방법보다 높지만, 얻어진 해 품질이 이 오버헤드를 상쇄하며 특히 대규모 문제에서 유의미하다.
• CSSC 방법은 다양한 문제 인스턴스에 대해 강건하며, 원래 문제의 전체 해가 계산적으로 불가능한 경우에도 높은 성능을 유지한다.