[논문 리뷰] Problems 85 and 87 of Birkhoff's "Lattice theory"

Jonathan David Farley, Dominic van der Zypen|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 06.

Semantic Web and Ontologies참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Birkhoff의 *Lattice Theory*에서 오랫동안 남아 있던 두 문제를 해결한다: 완전 격자 준동형사상이 간격 위상에서 연속임을 증명하고, 별수렴성(star-convergence)을 구성하며, 특히 $2^\omega$와 같은 무한 광폭을 가진 완전 격자를 구성함으로써 간격 위상에서 허프도르프 성질을 가질 수 있음을 보여준다. 핵심 기여는 무한 광폭이 간격 위상에서 허프도르프 분리성의 전제가 되지 않는다는 것을 입증한 데 있다.

ABSTRACT

We solve problems 85 a(nd 87 from Birkhoff's book "Lattice Theory" (3rd edition)

연구 동기 및 목표

• 문제 85를 해결하기 위해, 완전 격자 준동형사상이 별수렴성과 간격 위상에 관해 연속인지 여쭙는다.
• 문제 87을 다루기 위해, 무한 광폭을 가진 격자가 간격 위상에서 허프도르프일 수 있는지 여쭙는다.
• 포인트와순서에 따라 정의된 멱집합 격자 $2^\omega$가 무한 광폭을 가지며, 간격 위상에서 허프도르프임을 확립한다.
• 완전 격자 간의 완전 준동형사상이 순서 수렴을 보존하고, 간격 위상에서 연속임을 증명한다.
• 필터와 기본 열린집합을 이용하여 격자 이론에서 광폭, 위상, 수렴 간의 관계를 명확히 한다.

제안 방법

• 부분순서집합 $X$ 위에서의 간격 위상은 하부기저 $\{X \setminus \downarrow x, X \setminus \uparrow x \mid x \in X\}$ 로 정의된다.
• 필터 기반 수렴을 적용: 부분순서집합 $P$ 위의 필터 $\mathcal{F}$ 가 $x$ 로 순서수렴하는 것은 $\bigwedge \mathcal{F}^u = x = \bigvee \mathcal{F}^\ell$ 를 만족할 때이다.
• 별수렴성 정의: 필터 $\mathcal{F}$ 가 $x$ 로 별수렴하는 것은 $\mathcal{F}$ 의 모든 초필터가 $x$ 로 순서수렴하는 초필터를 가진다.
• 완전 준동형사상이 순서수렴을 보존함을 증명함으로써, $\mathcal{F} \to x$ 이면 항상 $f(\mathcal{F}) \to f(x)$ 임을 보인다.
• 부분순서집합의 곱 위의 간격 위상이 그들의 간격 위상의 곱위상과 일치함을 증명한다.
• $2 = \{0,1\}$ 가 $0 < 1$ 인 경우 이산적이고 허프도르프이므로, $2^\omega$ 가 곱위상(즉, 간격 위상과 동일)을 지닌다는 사실을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 완전 격자 준동형사상은 간격 위상에서 연속인가?
• RQ2 모든 완전 격자 준동형사상은 별수렴성에 관해 연속인가?
• RQ3 무한 광폭을 가진 격자가 간격 위상에서 허프도르프일 수 있는가?
• RQ4 $2^\omega$ 의 간격 위상은 $2$ 의 간격 위상의 곱위상과 일치하는가?
• RQ5 포인트와순서에 따라 정의된 완전 격자 $2^\omega$ 의 광폭은 무엇인가?

주요 결과

• 완전 격자 준동형사상은 간격 위상에서 연속이며, 기본 닫힌집합의 원상이 닫혀져 있음을 보임으로써 성립한다.
• 완전 준동형사상은 순서수렴을 보존한다: $\mathcal{F} \to x$ 이면 $f(\mathcal{F}) \to f(x)$ 이다.
• 별수렴성은 완전 준동형사상에 의해 보존되며, 이는 문제 85의 두 번째 부분에 대한 긍정적 해답을 확인한다.
• $2^\omega$ 는 무한 광폭을 가지며, $\{e_0, \dots, e_n\}$ 의 집합을 통해 $\inf(F)$ 가 크기가 $\leq n$ 인 어떤 진부분집합으로도 재현될 수 없음을 보여줌으로써 증명된다.
• $2^\omega$ 의 간격 위상은 이산적이고 허프도르프인 공간들의 곱위상과 일치하므로 허프도르프이다.
• 부분순서집합의 곱 위의 간격 위상은 그들의 간격 위상의 곱위상과 일치하며, 이는 $2^\omega$ 의 허프도르프 성질을 확인한다.