[논문 리뷰] Problems and Conjectures presented at the Third International Conference on Permutation Patterns, University of Florida, March 7-11, 2005

Murray Elder, Vince Vatter|ArXiv.org|2005. 05. 24.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 19인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 제3회 국제퍼미ュ테이션 패턴 회의에서 나온 퍼미ュ테이션 패턴 수에 관한 열린 문제들과 추측들을 종합한다. 패턴 회피 수열의 P-재귀성, 윌프-동치, 성장률, 스택 정렬, 반사성 집합 크기 등을 다루며, 제일버거의 추측(1324-회피 퍼미ュ테이션 수열이 P-재귀가 아님)과 바터의 추측(모든 패턴 회피 클래스에 대해 성장률이 존재함)을 포함한 핵심 추측들을 제기한다.

ABSTRACT

We recount problems, questions and conjectures that arose during a problem session of the Third International Conference on Permutation Patterns, University of Florida, March 7-11, 2005.

연구 동기 및 목표

• 제3회 국제퍼미ュ테이션 패턴 회의에서 나온 퍼미ュ테이션 패턴 이론의 미해결 문제들과 추측들을 종합하고 확산시키기.
• 특히 1324 패턴에 대해 회피하는 퍼미ュ테이션 수열의 P-재귀성 조사하기.
• 퍼미ュ테이션의 윌프-동치와 점근적 회피 순서 조사하기.
• 퍼미ュ테이션 클래스에 대한 성장률의 존재성과 성질 연구하기.
• 스택 정렬 알고리즘과 t개의 스택을 사용한 퍼미ュ테이션 정렬의 복잡도 조사하기.

제안 방법

• 패턴 회피 수열의 P-재귀성 분석을 위해 생성함수와 D-유한 급수의 사용.
• 생성 트리와 계산적 수열 계산을 활용해 s_n(1324)와 같은 수열의 항을 계산하기.
• 직접 합과 기울기로 연결된 구성 기법을 사용해 특정 성질을 가진 퍼미ュ테이션 구축하기.
• (t+1)개의 문자로 구성된 코드어를 사용해 t-스택 정렬 가능한 퍼미ュ테이션을 모델링하고, 수의 기하학적 성질 분석하기.
• WILFPLUS라는 Maple 패키지를 활용해 Av(1324)의 성장률에 대한 하한 개선하기.
• 조합 및 대수 기법을 활용해 반사성 집합과 그 성장률 연구하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1324 패턴을 회피하는 n-퍼미ュ테이션의 수는 P-재귀적인가? (제일버거의 추측)
• RQ2 모든 유한한 패턴 집합에 대해 그 회피 클래스에 대해 잘 정의된 성장률이 존재하는가? (바터의 추측)
• RQ3 t ≥ 3일 때, 길이 n인 t-스택 정렬 가능한 퍼미ュ테이션의 수가 홀수일 수 있는가? 만약 가능하면 어떤 조건에서인가? (보나의 추측)
• RQ4 일반적인 3-스택 기계로 정렬 가능한 퍼미ュ테이션 클래스에 대해 유한 기초가 존재하는가? (아트킨슨의 문제)
• RQ5 일반적인 3-스택 정렬 기계로 정렬할 수 없는 가장 짧은 퍼미ュ테이션은 무엇인가? (와튼 대 엘더의 베팅)

주요 결과

• 제일버거는 s_n(1324) 수열이 P-재귀가 아니라고 추측하며, 심지어 신조조차도 a_1000(1324)를 계산할 수 없다고 주장하여 이 수열이 D-유한가 아닌 것으로 암시한다.
• n의 123-회피 조합 수는 무한한 특이점이 있는 생성함수에 기반해 P-재귀가 아니라고 추측된다.
• 1-스택 정렬 가능한 퍼미ュ테이션의 수는 n = 2^k - 1일 때에만 홀수이며, 이는 카탈란 수와 일치한다.
• 2-스택 정렬 가능한 퍼미ュ테이션의 수는 n의 이진 표현이 연속된 1을 포함하지 않고 끝이 1일 때에만 홀수이며, 2^m 이하에서 그러한 n의 수는 m번째 피보나치 수이다.
• 일반적인 2-스택 기계로 정렬할 수 없는 가장 짧은 퍼미ュ테이션의 길이는 7이며, 이에 해당하는 퍼미ュ테이션은 총 22개가 있다.
• 엘더와 와튼은 3개의 스택으로 정렬할 수 없는 가장 짧은 퍼미ュ테이션 길이에 대해 베팅을 했으며, 엘더는 15를, 와튼은 22를 예측했다.