[논문 리뷰] Product and coproduct in string topology

Nancy Hingston, Nathalie Wahl|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 20.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 닫힌 리만 다양체의 자유 루프 공간 위에서 고레스키-링스턴 코homology 곱과 호모로지 코곱을 정수 계량 체인으로 확장하여, 비상대적, 계수화된 결합법칙적이고 교환법칙적인 곱과 코곱을 구축한다. 핵심 결과는 코곱의 k번째 반복이 0이 아닐 경우, 모든 대표자에 대해 최소한 (k+1)중 자기교차를 가진 루프가 존재함을 보여주며, 이는 구와 복소 프로젝티브 공간에서 정확히 성립한다.

ABSTRACT

Let M be a closed Riemannian manifold. We extend the product of Goresky-Hingston, on the cohomology of the free loop space of M relative to the constant loops, to a nonrelative product. It is graded associative and commutative, and compatible with the length filtration on the loop space, like the original product. We prove the following new geometric property of the dual homology coproduct: the nonvanishing of the k-th iterate of the coproduct on a homology class ensures the existence of a loop with a (k+1)-fold self-intersection in every representative of the class. For spheres and projective spaces, we show that this is sharp, in the sense that the k-th iterated coproduct vanishes precisely on those classes that have support in the loops with at most k-fold self-intersections. We study the interactions between this cohomology product and the more well-known Chas-Sullivan product. We give explicit integral chain level constructions of these loop products and coproduct, including a new construction of the Chas-Sullivan product, which avoid the technicalities of infinite dimensional tubular neighborhoods and delicate intersections of chains in loop spaces.

연구 동기 및 목표

• 자유 루프 공간 위에서 상대적 고레스키-링스턴 코homology 곱과 호모로지 코곱을 정수 계량 체인으로 올리는 것.
• 길이 필터링과 호환되는 비상대적, 계수화된 결합법칙적이고 교환법칙적인 코homology 곱과 호모로지 코곱을 정의하는 것.
• 반복된 코곱과 루프 대표자에서의 최소 자기교차 수 사이의 기하학적 연결 고리를 확립하는 것.
• 무한차원 튜브 이웃물음이나 민감한 교차 극한에 의존하지 않고, 채스-서러번 곱과 코곱의 명시적이고 기하학적인 체인 수준의 구축을 제공하는 것.
• 구와 프로젝티브 공간에 대해, k번째 반복된 코곱이 정확히 k중 자기교차를 가진 루프에 의해 지지되는 클래스에서만 0이 되는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• M×M의 대각선에 대한 튜브 이웃물음에서 유도된 재접합 사상으로 채스-서러번 곱과 코프로덕트를 구성하는 것.
• 코homology 곱을 톰 클래스 캡과 재접합 후 공통 기저점으로의 연결을 통해 정의하는 것.
• 자기교차를 가진 루프에 대해 기하학적 막대를 사용해 대각선으로 재접합한 후 부호 보정된 자르기 사상(_cut map_)을 적용하여 호모로지 코곱을 정의하는 것.
• ΛM → M 평가 사상으로 호모로지와 코homology를 분할하여, 0으로 확장함으로써 비상대 연산을 정의하는 것.
• 상수 루프에서의 0으로의 확장을 통해 상대 연산을 정수 체인으로 올리는 것. 이는 길이 필터링과의 호환성을 보장한다.
• 부호 보정된 체인 수준의 구성과 캡곱 및 크로스곱의 다이어그램 추적을 통해 결합법칙성, 계수화된 교환법칙성, 길이 필터링과의 호환성을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반복된 코곱은 루프 대표자에서의 최소 자기교차 수를 감지하는가?
• RQ2 무한차원 튜브 이웃물음 없이 채스-서러번 곱과 고레스키-링스턴 코프로덕트를 정수 체인 수준에서 구성할 수 있는가?
• RQ3 코곱의 k번째 반복이 0이 아니면, 반드시 (k+1)중 자기교차를 가진 대표자가 존재하는가?
• RQ4 구와 복소 프로젝티브 공간에서, 코곱의 k번째 반복이 정확히 k중 자기교차를 가진 루프에 의해 지지되는 클래스에서만 0이 되는가?
• RQ5 새로운 체인 수준의 곱과 코곱은 특히 프로베누스 항등식과 관련하여 어떻게 대수적으로 상호작용하는가?

주요 결과

• 호모로지 클래스에서 코프로덕트의 k번째 반복이 0이 아니면, 그 클래스의 모든 대표자에 최소한 (k+1)중 자기교차를 가진 루프가 존재한다.
• 구와 복소 프로젝티브 공간에 대해, k번째 반복된 코프로덕트가 0이 되는 것은 정확히 k중 자기교차를 가진 루프에 의해 지지되는 클래스일 때뿐이며, 이는 불변량이 정확히 작동함을 의미한다.
• 구축된 코homology 곱 b⊛은 계수화된 결합법칙성과 교환법칙성을 만족하며, 루프 공간의 길이 필터링과 호환된다.
• 코프로덕트 b∨는 ∧◦b∨=0이라는 항등식을 만족하여, 채스-서러번 곱과 형태적인 인발적 이중성(duality)을 이룬다.
• 논문은 무한차원 튜브 이웃물음의 기교나 민감한 교차 극한의 복잡성 없이, 채스-서러번 곱의 새로운 기하학적 체인 수준의 구축을 제공한다.
• 정의에서의 부호 보정은 곱과 코프로덕트가 기대되는 대수적 성질, 즉 결합법칙성과 계수화된 교환법칙성을 만족하도록 보장한다.