[논문 리뷰] Product of positive semi-definite matrices

Jianlian Cui, Chi-Kwong Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 30.

graph theory and CDMA systems인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소 정사각행렬이 세 개 또는 네 개인자비정의 행렬의 곱으로 표현될 수 있는 조건을 완전히 규명하며, 행렬 분해 이론에서 중요한 갭을 메운다. 유니터리 유사변환을 통해 행렬을 역행렬 가능 블록과 니르포텐트 블록을 가진 상삼각행렬 형태로 줄이고, 이 블록의 구조와 수치적 범위를 바탕으로 필요하고도 충분한 조건을 도출함으로써, 비음수 행렬식을 가진 임의의 행렬에 대해 필요한 최소 수의 양의 준정의 행렬을 알고리즘적으로 결정할 수 있다.

ABSTRACT

It is known that every complex square matrix with nonnegative determinant is the product of positive semi-definite matrices. There are characterizations of matrices that require two or five positive semi-definite matrices in the product. However, the characterizations of matrices that require three or four positive semi-definite matrices in the product are lacking. In this paper, we give a complete characterization of these two types of matrices. With these results, we give an algorithm to determine whether a square matrix can be expressed as the product of $k$ positive semi-definite matrices but not fewer, for $k = 1,2,3,4,5$.

연구 동기 및 목표

• 이전 연구에서 한, 두, 다섯 인자에 대해서만 다루어진 바 있어, 정확히 세 또는 네 개인자비정의 행렬 곱으로 표현되는 행렬을 특성화하는 데에 있어 이론적 갭을 메우기 위해.
• 비음수 행렬식을 가진 임의의 복소 정사각행렬을 표현하기 위해 필요한 최소 수의 양의 준정의 행렬을 완전하고 알고리즘적으로 결정할 수 있는 기준을 제공하기 위해.
• 상삼각행렬 형태의 행렬이 역행렬 가능 블록과 니르포텐트 블록을 가질 때, 그 대각선 블록의 성질에 따라 세 개인자비정의 행렬의 곱으로 표현될 수 있는지 여부에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 역행렬 가능한 행렬이 세 개인자비정의 행렬의 곱으로 표현될 수 있는 필요충분조건을 수치적 범위와 고유값 분석을 통해 수립하기 위해.

제안 방법

• 유니터리 유사변환을 통해 임의의 행렬을 역행렬 가능 블록 $ T_1 $ 과 니르포텐트 블록 $ T_2 $ 를 가지며, 비대각선 블록 $ R $ 이 있는 상삼각행렬 형태로 변환한다.
• 역행렬 가능 블록 $ T_1 $ 의 스펙트럼 성질을 분석하기 위해 수치적 범위 $ W(A) $ 를 핵심 도구로 사용하며, 특히 0이 그 내부에 포함되는지 여부를 중심으로 분석한다.
• 유니터리 불변성과 유사변환을 활용하여, 행렬이 두 개인자비정의 행렬의 곱으로 표현될 수 있는 조건을 등가 조건으로 설정한다.
• 행렬 $ T $ 가 세 개인자비정의 행렬의 곱임과 동치인 조건을 증명한다: $ R \neq 0 $ 이거나 $ T_2 \neq 0 $ 이거나, 둘 다 0 이면서 $ T_1 $ 이 세 개인자비정의 행렬의 곱임.
• 행렬 $ T_1 $ 이 세 개인자비정의 행렬의 곱이 되기 위한 기준을 제시한다: $ \det(T_1) > 0 $ 이고 $ 0 \in \mathrm{int}(W(T_1)) $ 이거나, $ 0 \notin \mathrm{int}(W(T_1)) $ 이지만 $ W(T_1) $ 이 양수를 포함하고 고유값의 각도 합이 0임.
• 행렬 $ A \in M_n $ 이 $ \det(A) \geq 0 $ 를 만족할 때, 주어진 행렬이 $ k $ 개의 양의 준정의 행렬의 곱으로 표현될 수 있는 최소 $ k \in \{1,2,3,4,5\} $ 을 결정하는 알고리즘을 구성한다. 이 알고리즘은 유니터리 유사형의 블록 구조와 수치적 범위의 성질에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소 정사각행렬이 정확히 세 개인자비정의 행렬의 곱으로 표현될 수 있는 필요충분조건은 무엇인가?
• RQ2 특히 행렬이 음수 실수 스칼라 배수의 항등행렬이 아닌 경우, 네 개인자비정의 행렬이 필요한 행렬의 특성화를 완성할 수 있는가?
• RQ3 역행렬 가능한 행렬 $ T_1 $ 이 세 개인자비정의 행렬의 곱이 되기 위한 조건은 무엇인가, 특히 $ T_1 $ 의 수치적 범위 내부에 0 이 포함되지 않을 경우에 대해?
• RQ4 상삼각행렬 형태의 행렬이 역행렬 가능 대각선 블록과 니르포텐트 블록을 가질 때, 유니터리 유사변환 하에서 세 개인자비정의 행렬의 곱임이 보존되는가?
• RQ5 주어진 행렬이 비음수 행렬식을 가지는 경우, 그 행렬이 $ k $ 개의 양의 준정의 행렬의 곱으로 표현될 수 있는 최소 수 $ k \in \{1,2,3,4,5\} $ 을 결정하는 알고리즘 절차는 무엇인가?

주요 결과

• 역행렬 가능 블록 $ T_1 $ 과 니르포텐트 블록 $ T_2 $ 를 가지며, 비대각선 블록 $ R $ 이 있는 행렬 $ T = \begin{bmatrix} T_1 & R \\ 0 & T_2 \end{bmatrix} $ 이 세 개인자비정의 행렬의 곱임과 동치인 조건은 $ R \neq 0 $ 이거나 $ T_2 \neq 0 $ 이거나, 둘 다 0 이면서 $ T_1 $ 이 세 개인자비정의 행렬의 곱임.
• 역행렬 가능한 행렬 $ T_1 $ 이 세 개인자비정의 행렬의 곱임과 동치인 조건은 $ \det(T_1) > 0 $ 이고 $ 0 \in \mathrm{int}(W(T_1)) $ 이거나, $ 0 \notin \mathrm{int}(W(T_1)) $ 이지만 $ W(T_1) $ 이 양수를 포함하고 고유값의 각도 합이 0임.
• 행렬 $ A $ 가 음수 실수 스칼라 배수의 항등행렬인 경우, 즉 $ A = \alpha I_n $, $ \alpha \notin [0, \infty) $ 이면, 정확히 다섯 개인자비정의 행렬이 필요하며, 그 이하로 표현될 수 없다.
• 알고리즘이 행렬 $ A \in M_n $ 이 $ \det(A) \geq 0 $ 를 만족할 때, 그 유니터리 유사형과 블록, 수치적 범위의 성질에 기반하여 최소 $ k \in \{1,2,3,4,5\} $ 을 정확히 결정한다.
• 논문은 추측을 해결하며, $ \det(T_1) > 0 $ 는 $ T $ 가 세 개인자비정의 행렬의 곱이 되기 위해 필수적이지만 충분하지 않음을 보이며, 수치적 범위와 고유값 각도 합을 통해 완전한 특성화를 제공한다.
• 정확히 네 개인자비정의 행렬이 필요한 행렬의 특성화는 완전하다: 이러한 행렬은 세 개 이하로 표현될 수 없으며, 특히 $ T_1 $ 이 세 개인자비정의 행렬의 곱이 되기 위한 조건 (i)과 (ii)를 모두 충족하지 못하는 형태의 $ T_1 \oplus 0_p $ 를 가진다.