[논문 리뷰] Products of multisymplectic manifolds and homotopy moment maps

C. S. Shahbazi, Marco Zambon|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다중심플렉틱 곱 구조(카티esian 곱 위의 다중심플렉틱 형식의 외적)로 정의된 다중심플렉틱 곱에 대해 관측가의 $L_{\infty}$-대수와 호모토피 모멘트 맵이 보존됨을 밝힌다. 개별 인자의 관측가에 대한 $L_{\infty}$-임bedding을 구축하고, 인자의 호모토피 모멘트 맵으로부터 곱의 호모토피 모멘트 맵을 유도하며, 다중심플렉틱 형식 자체가 곡률인 새로운 곡률이 있는 $L_{\infty}$-대수를 도입한다.

ABSTRACT

Multisymplectic geometry admits an operation that has no counterpart in symplectic geometry, namely, taking the product of two multisymplectic manifolds endowed with the wedge product of the multisymplectic forms. We show that there is an L-infinity-embedding of the L-infinity-algebra of observables of the individual factors into the observables of the product, and that homotopy moment maps for the individual factors induce a homotopy moment map for the product. As a by-product, we associate to every multisymplectic form a curved L-infinity-algebra, whose curvature is the multisymplectic form itself.

연구 동기 및 목표

• 다중심플렉틱 곱 연산(카티esian 곱 위의 형식의 외적)에 대해 관측가의 $L_{\infty}$-대수가 어떻게 행동하는지 이해하는 것.
• 개별 인자의 호모토피 모멘트 맵으로부터 두 다중심플렉틱 다양체의 곱에 대한 호모토피 모멘트 맵을 구성하는 것.
• 닫힌 미분형식에 자연스럽게 관련된 곡률이 형식 자체인 새로운 곡률이 있는 $L_{\infty}$-대수를 도입하고 특성화하는 것.
• 비퇴화 형식이 아닌 닫힌 형식으로 일반화함으로써 다중심플렉틱 기하학의 기본 대수적 구조를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 저자들은 [3], [5], [11]의 이전 연구를 바탕으로 $L_{\infty}$-사상과 호모토피 모멘트 맵의 기계적 장치를 사용하여 곱 다양체에 대한 호모토피 모멘트 맵을 구성한다.
• 유도된 호모토피 모멘트 맵의 공식을 인용하여, 인자의 $L_{\infty}$-대수의 직합에서 곱의 $L_{\infty}$-대수로의 명시적 $L_{\infty}$-임bedding $H$를 정의한다.
• 특히 $L_{\infty}$-관계에서 불순한 순서와 코즐의 부호를 사용하는 등, 차수 분석과 그레이드 다중선형 사상의 부호 관례에 기반한 구성이다.
• 곡률이 $\omega$인 곡률이 있는 $L_{\infty}$-대수의 정의는 $L_{\infty}(M,\omega)$와 동일한 그레이드 공간 위에 이루어지며, 1차와 2차 차수 성분을 포함하도록 확장된다. 고차수 괄호는 $\omega$를 곡률로 포함하도록 조정된다.
• $L_{\infty}$-관계는 입력의 차수에 따른 케이스 분석을 통해 검증되며, 차수 제약 조건과 해밀턴 벡터장의 정확성에 기반한 영성 조건을 사용한다.
• 저자들은 자신의 구성과 등변 코ycle 유도 모멘트 맵을 비교하여, 심플렉틱 및 고차 prequantization 설정에서 알려진 결과와 일관됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 다중심플렉틱 다양체의 외적에 대해 다중심플렉틱 다양체 위의 $L_{\infty}$-대수의 관측가는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 두 다중심플렉틱 다양체의 곱에 대해 개별 인자의 호모토피 모멘트 맵으로부터 곱의 호모토피 모멘트 맵을 구성할 수 있는가?
• RQ3 닫힌 미분형식에 대해 곡률이 형식 자체인 자연스러운 곡률이 있는 $L_{\infty}$-대수의 구조가 존재하는가?
• RQ4 표준 $L_{\infty}$-대수의 관측가와 이 새로운 곡률이 있는 $L_{\infty}$-대수 사이의 대수적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 직합 $L_{\infty}(M_a,\omega_a) \oplus L_{\infty}(M_b,\omega_b)$ 에서 곱 $L_{\infty}(M_a \times M_b, \omega_a \wedge \omega_b)$ 로의 $L_{\infty}$-임베딩 $H$ 가 구성되었으며, $H_1$ 이 단사임을 보여 곱 연산에 대한 관측가의 호환성이 입증된다.
• 개별 맵 $f^a$ 와 $f^b$ 로부터 곱의 $\mathfrak{g}_a \oplus \mathfrak{g}_b \to L_{\infty}(M_a \times M_b, \omega_a \wedge \omega_b)$ 에 대한 명시적 호모토피 모멘트 맵 $F$ 가 구성되었으며, $L_{\infty}$-구조를 유지한다.
• 반복 곱 $(M, \omega^m)$ 에 대해 $m=2$ 인 경우에 대해 명시적 공식이 유도되었고, 예시로 하이퍼카일러 다양체가 사용되었다.
• 기존의 $L_{\infty}(M,\omega)$ 를 1차와 2차 차수 성분을 포함하도록 확장한 새로운 곡률이 있는 $L_{\infty}$-대수 $L^{\text{curv}}_{\infty}(M,\omega)$ 가 도입되었으며, 곡률은 $\omega$ 와 같다.
• 곡률이 있는 $L_{\infty}$-대수 $L^{\text{curv}}_{\infty}(M,\omega)$ 는 표준 $L_{\infty}$-대수의 관측가와 quasi-isomorphic하지 않으며, 0차 수준에서 항등원을 유지하는 엄격한 사상은 존재하지 않는다.
• 심플렉틱 경우($n=1$)에서는 $L^{\text{curv}}_{\infty}(M,\omega)$ 가 $C^\infty(M) \oplus \Omega^1_{\text{Ham}}(M) \oplus \langle \omega \rangle$ 와 동형이며, $d$ 와 $\omega$ 의 해밀턴 벡터장이 관여하는 비자명한 고차수 괄호가 존재한다.