[논문 리뷰] Profinite iterated monodromy groups arising from quadratic morphisms with infinite postcritical orbits

Richard Pink|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 23.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 5인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 특성 ≠ 2인 체 위에서 무한 후기경로를 가진 이차 유리 함수에서 유래하는 프로피니트 반복 모노드로미 군을 분류한다. 자기유사 군 이론과 갈루아 표현을 사용하여 기하 모노드로미 군이 후기경로의 조합적 유형에만 의존하는 재귀적으로 정의된 부분군 $ G(r) $ 와 유효한 것으로 나타내어지며, 하우스도르프 차원은 $ 1 - 2^{-r} $ 이고, 갈루아 작용과 정규화자 구조를 통해 산술 모노드로미 군을 완전히 기술한다.

ABSTRACT

We study in detail the profinite group G arising as geometric étale iterated monodromy group of an arbitrary quadratic morphism f with an infinite postcritical orbit over a field of characteristic different from two. This is a self-similar closed subgroup of the group of automorphisms of a regular rooted binary tree. In many cases it is equal to the automorphism group of the tree, but there remain some interesting cases where it is not. In these cases we prove that the conjugacy class of G depends only on the combinatorial type of the postcritical orbit of f. We also determine the Hausdorff dimension and the normalizer of G. This result is then used to describe the arithmetic étale iterated monodromy group of f. The methods used mostly group theoretical and of the same type as in a previous article of the same author dealing with quadratic polynomials with a finite postcritical orbit. The results on abstract self-similar profinite groups acting on a regular rooted binary tree may be of independent interest.

연구 동기 및 목표

• 특성 ≠ 2인 체 위에서 무한 후기경로를 가진 이차 사상의 기하 및 산술 에탈 반복 모노드로미 군을 분류하는 것.
• 기하 모노드로미 군이 정규 루트 이진 트리의 전체 자기동형사상 군과 일치하는지, 아니면 진부분군인지 결정하는 것.
• 기하 모노드로미 군의 동치류가 후기경로의 조합적 유형에만 의존하는지 보여주는 것.
• 기하 모노드로미 군의 하우스도르프 차원과 정규화자를 계산하는 것.
• 갈루아 작용을 통해 산술 모노드로미 군을 묘사하고, 기하 군에 대한 그 지표를 결정하는 것.

제안 방법

• 정규 루트 이진 트리 $ T $ 의 자기동형사상 군 $ \mathrm{Aut}(T) $ 의 재귀적으로 생성된 부분군 $ G(r) $ 를 정의하고 자기유사 프로피니트 군 이론을 사용해 분석하는 것.
• 공액성, 정규화자 계산, 부분군 포함관계 등의 군론적 기법을 사용하여 $ G(r) $ 의 구조를 분석하는 것.
• 생성자의 재귀적 관계를 활용: 각 생성자 $ b_p $ 는 $ p $ 의 전이상 구조에 따라 $ (b_q, 1) $, $ (b_q, b_{q'}) $, 또는 $ \sigma $ 의 곱과 공액임.
• 무한 생성자 곱이 $ \mathrm{Aut}(T) $ 에서 항등원으로 수렴한다는 사실을 이용하여 군의 구조에 대한 핵심 제약 조건을 도출하는 것.
• 함수체 위의 모노드로미 군과 수체 또는 유한체 위의 모노드로미 군을 연결하기 위해 전문화 및 기저 변경 기법을 적용하는 것.
• 갈루아 코hom로지와 자연스러운 준동형사상 $ \mathrm{Gal}(\bar{k}/k) \to G^{\mathrm{arith}}/G^{\mathrm{geom}} $ 을 사용하여 산술 모노드로미 군을 결정하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 후기경로를 가진 이차 사상에 대해 기하 반복 모노드로미 군이 정규 루트 이진 트리의 전체 자기동형사상 군과 일치하는가?
• RQ2 기하 모노드로미 군의 공액류는 후기경로의 조합적 구조에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 기하 모노드로미 군이 전체 자기동형사상 군이 아닐 경우, 그 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ4 기본 체 위에서 임의의 임의의 점이 유리수 점이 아니면, 산술 모노드로미 군은 기하 모노드로미 군과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 유리점 위의 전이수 나무의 모노드로미 군은 기하 모노드로미 군을 기반으로 유계일 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $ r \geq 1 $ 에 대해 $ f^{r+1}(p_0) \neq f^{r+1}(q_0) $ 라면, $ G^{\mathrm{geom}} = G^{\mathrm{arith}} = \mathrm{Aut}(T) $ 는 트리의 전체 자기동형사상 군이다.
• 다른 경우, $ f^{r+1}(p_0) = f^{r+1}(q_0) $ 가 되는 최소의 $ r \geq 1 $ 에 대해, 기하 모노드로미 군 $ G^{\mathrm{geom}} $ 은 $ \mathrm{Aut}(T) $ 의 부분군인 재귀적으로 정의된 $ G(r) $ 와 공액임. 이는 $ r $ 에만 의존한다.
• $ G(r) $ 의 하우스도르프 차원은 $ 1 - 2^{-r} $ 이며, 이는 $ \mathrm{Aut}(T) $ 내에서의 크기의 정량적 측도이다.
• $ \mathrm{Aut}(T) $ 에서 $ G(r) $ 의 정규화자를 명시적으로 계산하였으며, $ G(r) $ 가 공액성 하에 자기유사적이고 반탄성적임을 보였다.
• 비판점들이 $ k $ 에 정의되어 있다면 $ G^{\mathrm{arith}} = G^{\mathrm{geom}} $ 이고, 아닐 경우 $ G^{\mathrm{arith}} $ 는 추가적인 명시적 원소에 의해 생성되는 지표 2의 확장이다.
• 모든 유리점 $ x' \in \mathbb{P}^1(k') \setminus P $ 에 대해, 모노드로미 군 $ G_{x'} $ 는 어떤 $ w \in \mathrm{Aut}(T) $ 에 대해 $ G(r) $ 의 공액체에 포함되며, $ [G^{\mathrm{arith}} : G^{\mathrm{arith}} \cap wG(r)w^{-1}] < \infty $ 이다.