[논문 리뷰] Progressive enlargement of filtrations and Backward SDEs with jumps

Idris Kharroubi, Thomas Lim|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 필터의 점진적 확장과 문제를 등가의 브라운 운동 백분류 방정식으로 분해하여 랜덤 마킹 점프를 가진 역방향 SDE의 존재성 및 유일성 결과를 확립한다. 밀도 조건을 가정할 경우 일반적인 존재 정리를 증명하고, 비교 정리를 통해 유일성 결과를 도출하며, 이는 이전의 기본 위험 상황에서의 이차 BSDE 연구를 확장한다.

ABSTRACT

This work deals with backward stochastic differential equation (BSDE) with random marked jumps, and their applications to default risk. We show that these BSDEs are linked with Brownian BSDEs through the decomposition of processes with respect to the progressive enlargement of filtrations. We show that the equations have solutions if the associated Brownian BSDEs have solutions. We also provide a uniqueness theorem for BSDEs with jumps by giving a comparison theorem based on the comparison for Brownian BSDEs. We give in particular some results for quadratic BDSEs. As applications, we study the pricing and the hedging of a European option in a complete market with a single jump, and the utility maximization problem in an incomplete market with a finite number of jumps.

연구 동기 및 목표

• 기본 위험 모델링에서 랜덤 마킹 점프를 가진 역방향 SDE에 대한 일반적인 존재성 및 유일성 결과가 부족한 문제를 다루기 위해.
• 브라운 운동 BSDE 이론과 점프를 가진 BSDE 사이의 격차를 점진적 필터 확장 기법을 통해 메우기 위해.
• 기존의 이차 BSDE 결과를 더 일반적인 존재 조건으로 확장하기 위해.
• 브라운 운동 BSDE 비교 결과를 기반으로 점프를 가진 BSDE에 대한 비교 정리를 수립하기 위해.
• 이론적 프레임워크를 재무 문제에 적용하기 위해: 단일 점프 시장에서의 유럽형 옵션 가격 설정/헤지 및 점프가 있는 불완전 시장에서의 유틸리티 최적화 문제.

제안 방법

• 기본 시간과 마킹을 랜덤 정지시간으로 모델링하기 위해 필터의 점진적 확장을 사용한다.
• Pham의 분해 정리를 적용하여 $\bG$-예측 가능 과정을 $\bF$-예측 가능 성분과 보정자로 표현한다.
• 마킹 점프를 가진 BSDE를 점프 시간과 마킹으로 인덱싱된 브라운 운동 BSDE의 시스템으로 환원한다.
• 강도 측도에 대한 밀도 조건을 가정하여 분해된 브라운 운동 BSDE를 풀어 존재성을 확립한다.
• 기본 브라운 운동 BSDE의 비교 결과를 활용하여 점프를 가진 BSDE에 대한 비교 정리를 유도한다.
• 분해를 활용하여 생성자가 $z$-변수에서 볼록일 경우에 대해 이차 BSDE의 유일성 결과를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 랜덤 마킹 점프를 가진 역방향 SDE가 해를 갖는가?
• RQ2 점프를 가진 BSDE의 해는 어떻게 브라운 운동 BSDE로의 분해를 통해 구성될 수 있는가?
• RQ3 특히 생성자가 $z$-변수에서 볼록일 경우에 대해, 점프를 가진 이차 BSDE의 유일성은 어떤 조건에서 보장되는가?
• RQ4 점진적 필터 확장은 재무 시장에서 기본 위험 분석을 어떻게 지원하는가?
• RQ5 이 분해 프레임워크는 유한한 점프를 가진 불완전 시장에서 유틸리티 최적화 문제를 해결하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 점프 시간의 강도 측도에 대한 밀도 조건을 가정할 경우, 랜덤 마킹 점프를 가진 BSDE에 대한 일반적인 존재 결과를 증명한다.
• 브라운 운동 BSDE 프레임워크의 비교 결과로 환원함으로써 점프를 가진 BSDE에 대한 비교 정리를 수립한다.
• 생성이 $z$-변수에서 볼록일 경우, 마킹 점프를 가진 이차 BSDE에 대해 유일성 결과를 확보한다.
• 점프를 가진 BSDE의 해는 측도 가능성과 적분 가능성 보장이 되는 브라운 운동 BSDE의 해들의 수열을 통해 구성된다.
• 이 프레임워크는 단일 점프 시장에서의 유럽형 옵션 가격 설정 및 헤지에 성공적으로 적용되어 명시적인 헤지 전략을 도출한다.
• 이 방법은 마킹 점프가 유한한 수인 불완전 시장에서의 지수 유틸리티 최적화 문제를 해결하는 데로 확장되어, 실용적인 해법 접근을 제공한다.