[논문 리뷰] Projected Model Counting

Rehan Aziz, Geoffrey Chu외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 28.

Bayesian Modeling and Causal Inference참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 공식을 만족시키는 비우선 변수의 확장이 존재하는 조건에서 우선 변수에 대한 할당을 세는 새로운 프로젝션 모델 카운팅 문제인 #∃SAT을 소개한다. 세 가지 기법—조기 잘라내기 기반 DPLL 탐색, 향상된 큐브 일반화, d-DNNF 기반 잊기—을 제안하며, 벤치마크에서 #clasp와 dSharp_P가 다른 방법들보다 뛰어난 성능을 보이며, d2c는 결정성 유지하면서 d-DNNF 프로젝션에 대해 강력한 방법임을 입증한다.

ABSTRACT

Model counting is the task of computing the number of assignments to variables V that satisfy a given propositional theory F. Model counting is an essential tool in probabilistic reasoning. In this paper, we introduce the problem of model counting projected on a subset P of original variables that we call 'priority' variables. The task is to compute the number of assignments to P such that there exists an extension to 'non-priority' variables V¶that satisfies F. Projected model counting arises when some parts of the model are irrelevant to the counts, in particular when we require additional variables to model the problem we are counting in SAT. We discuss three different approaches to projected model counting (two of which are novel), and compare their performance on different benchmark problems. To appear in 18th International Conference on Theory and Applications of Satisfiability Testing, September 24-27, 2015, Austin, Texas, USA

연구 동기 및 목표

• 비우선 변수를 제약 조건을 인코딩하기 위해 도입했을 때, 우선 변수의 부분집합에 대한 모델 수를 세는 데의 필요성을 해결하기 위해.
• 비우선 변수가 우선 변수에 의해 기능적으로 정의되지 않을 경우 잘못된 수를 세는 문제를 해결하기 위해.
• 현재까지 거의 주목받지 않은 #P^NP 문제인 #∃SAT에 대해 효율적인 알고리즘을 개발하고 평가하기 위해.
• 실제 문제 벤치마크, 특히 계획의 안정성과 저장 문제를 포함하여 다양한 접근법의 성능을 비교하기 위해.
• d2c가 결정성을 유지하면서 d-DNNF 공식의 프로젝션을 효율적으로 수행할 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 첫 번째 방법: DPLL 기반 카운터를 수정하여 우선 변수에 대해 우선 탐색을 수행하고, 내부 솔버 호출을 통해 나머지 공식의 만족 가능성 여부를 확인한다.
• 두 번째 방법: 각 솔루션 큐브를 최소 차단 절로 탐욕적으로 일반화하여, 지수적 탐색 공간을 줄인다.
• 세 번째 방법: 공식을 d-DNNF로 컴파일하고, 비우선 변수를 변수 제거를 통해 잊고, 다시 CNF로 변환한 후 모델을 세는 방식이다.
• 모든 방법은 계획의 안정성과 저장 문제를 포함한 벤치마크에서 구현 및 평가되었다.
• d2c 방법은 지식 컴파일을 활용하며, 프로젝션 중 결정성을 유지함을 입증하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비우선 변수가 우선 변수에 의해 기능적으로 정의되지 않을 경우, 우선 변수의 부분집합에 대해 모델 수를 효과적으로 프로젝션하는 방법은 무엇인가?
• RQ2 DPLL 기반 탐색, 큐브 일반화, 지식 컴파일 중 어떤 알고리즘 전략이 #∃SAT에 가장 잘 스케일링되는가?
• RQ3 d2c 방법은 결정성을 유지하면서 d-DNNF 공식의 프로젝션을 효율적으로 수행하고 빠른 수를 세울 수 있는가?
• RQ4 다양한 솔루션 구조를 가진 다양한 벤치마크에서 제안된 방법들의 성능는 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이 방법들의 포트폴리오 기반 조합은 다양한 문제 인스턴스에서 거의 최적의 성능를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 해당 솔루션 큐브의 수가 적고 큐브의 품질이 높을 경우 #clasp가 다른 방법들보다 뛰어난 성능을 보였다.
• 구성 요소 캐싱과 동적 분해가 유리할 경우 dSharp_P가 최고의 성능을 기록했다.
• d2c는 경쟁력 있고 견고했으며, 최종 모델 수를 세는 단계가 d-DNNF 구축보다 빠른 편이었다.
• d2c 방법은 프로젝션 중 결정성을 유지하여 지식 컴파일 파이프라인에 적합하다.
• 저장 벤치마크에서는 #clasp가 4개의 인스턴스를 해결했지만, dSharp_P와 d2c는 모두 실패했으며, 이는 d2c가 어려운 케이스에서 뛰어난 견고성을 보임을 시사한다.
• 계획의 안정성 벤치마크에서는 #clasp와 d2c가 뛰어난 성능를 보였으며, 특히 더 큰 인스턴스에서 d2c가 더 효율적이었다.