[논문 리뷰] Projected Richardson varieties and affine Schubert varieties

Xuhua He, Thomas Lam|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 14.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 26인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 부분 플라그 다양체 $G/P$ 의 사영된 리처드슨 다양체와 애파인 플라그 다양체 $\widetilde{Fl}$ 의 애파인 슈부르트 다양체 사이에 깊이 있는 조합론적 및 코homological 대응을 수립하며, 사영된 리처드슨 다양체의 닫힘 순서가 아이와하라-위얼 군의 적절한 집합 $\mathrm{Adm}(\lambda)$ 의 부분집합과 순서 반전 동형임을 보여준다. 또한 이러한 다양체의 $K$-이론 클래스들이 애파인 그라스만يان으로의 당김을 통해 관련되어 있음을 증명하며, 이는 이전의 그라스만يان에 대한 결과를 임의의 cominuscule $G/P$ 로 일반화한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a complex quasi-simple algebraic group and $G/P$ be a partial flag variety. The projections of Richardson varieties from the full flag variety form a stratification of $G/P$. We show that the closure partial order of projected Richardson varieties agrees with that of a subset of Schubert varieties in the affine flag variety of $G$. Furthermore, we compare the torus-equivariant cohomology and $K$-theory classes of these two stratifications by pushing or pulling these classes to the affine Grassmannian. Our work generalizes results of Knutson, Lam, and Speyer for the Grassmannian of type $A$.

연구 동기 및 목표

• 사영된 리처드슨 다양체의 닫힘 순서와 애파인 플라그 다양체 $\widetilde{Fl}$ 의 애파인 슈부르트 다양체의 부분집합 사이의 조합론적 대응을 수립하는 것.
• 애파인 그라스만يان으로의 당김을 통한 사영된 리처드슨 다양체와 애파인 슈부르트 다양체의 토루스-등변 코homology 및 $K$-이론 클래스를 비교하는 것.
• 그라스만يان에 대한 쿤츠온, 램, 스프레이어의 결과를 임의의 cominuscule 플라그 다양체 $G/P$ 로 일반화하는 것.
• 특수한 '가짜' 유니타리 샤이마 바이어의 국소 모델의 특수 섹션에 대한 유리점의 수를 위한 닫힌 공식을 제공하는 것.

제안 방법

• 사영된 리처드슨 다양체의 순서 집합에서 아이와하라-위얼 군의 적절한 집합 $\mathrm{Adm}(\lambda)$ 로 가는 사상 $\theta: Q_J \to \mathrm{Adm}(\lambda)$ 를 정의하며, 이 사상이 순서 반전이면서 $t^{-\lambda}$ 의 $W \times W$-이중여부류에 값이 있음을 보이는 것.
• 코크세터 군의 데마르지 (모노이드) 곱의 성질을 이용하여 순서 집합 $Q_J$ 와 $\mathrm{Adm}(\lambda)$ 의 조합론적 관계를 분석하는 것.
• 기하학적으로 조합론적 동형을 설명하기 위해, 분할된 공간들 $Z_J$, $G/P$, $\widetilde{Fl}$ 사이의 사상들을 구성하는 것.
• 애파인 그라스만يان으로의 푸시포워드 $p_*[\mathcal{O}_{\Pi^x_y}] = q^*(\psi^{\theta(x,y)})$ 를 통해 $K$-이론 비교를 수립하며, $G/P$ 의 구조층 클래스와 $\widetilde{Fl}$ 의 것들을 연결하는 것.
• 포함사상 $p: G/P \hookrightarrow \mathrm{Gr}_\lambda$ 와 조합 $\mathrm{Gr} \simeq \Omega K \to LK \to LK/T_{\mathbb{R}} \simeq \widetilde{Fl}$ 을 이용하여 $K$-이론 클래스들을 연결하는 것.
• 사실 $Q_J$, $\Omega_J$, $Q'_J$ 가 명시적인 순서 유지 전단사 사상 $f$, $g$, $h$ 를 통해 조합론적으로 동치임을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사영된 리처드슨 다양체의 닫힘 순서는 애파인 플라그 다양체 $\widetilde{Fl}$ 의 애파인 슈부르트 다양체의 브라우트 순서와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 사영된 리처드슨 다양체의 $K$-이론 클래스들이 기하학적 당김을 통해 애파인 슈부르트 다양체의 것들과 관련될 수 있는가?
• RQ3 사영된 리처드슨 다양체의 순서 집합 $Q_J$ 와 아이와하라-위얼 군의 적절한 집합 $\mathrm{Adm}(\lambda)$ 사이에 조합론적 동형이 존재하는가?
• RQ4 특수한 '가짜' 유니타리 샤이마 바이어의 국소 모델의 특수 섹션에 대한 유리점의 수는 얼마인가?
• RQ5 G/P 와 $\widetilde{Fl}$ 간의 이러한 분할 구조의 코homological 및 $K$-이론적 구조는 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 사상 $\theta: Q_J \to \mathrm{Adm}(\lambda)$ 는 순서 반전 단사사상이며, 그 상은 $t^{-\lambda}$ 의 $W \times W$-이중여부류이다. $\lambda$ 가 minuscule일 경우 순서 반전 전단사가 된다.
• $Q_J$, $\Omega_J$, $Q'_J$ 는 명시적인 순서 유지 전단사 사상 $f$, $g$, $h$ 를 통해 조합론적으로 동치이다.
• 사영된 리처드슨 다양체 $\Pi^x_y$ 의 구조층의 $K$-이론 클래스는 애파인 플라그 다양체 $\widetilde{Fl}$ 의 해당 애파인 슈부르트 다양체 $\psi^{\theta(x,y)}$ 의 $K$-이론 클래스의 당김과 같으며, 즉 $p_*[\mathcal{O}_{\Pi^x_y}] = q^*(\psi^{\theta(x,y)})$ 이다.
• '가짜' 유니타리 샤이마 바이어의 국소 모델의 특수 섹션에 대한 유리점의 수는 minuscule $\lambda$ 에 대한 $\mathrm{Adm}(\lambda)$ 의 수를 세는 것으로부터 유도된 닫힌 공식으로 주어진다.
• 사영된 리처드슨 다양체의 순서 집합 $Q_J$ 와 $\mathrm{Adm}(\lambda)$ 사이의 조합론적 동형은 국소 모델의 정규성 및 코hen-맥쿨레이성의 증명에 핵심적인 역할을 한다.
• 이 결과들은 쿤츠온, 램, 스프레이어의 그라스만يان에 대한 $K$-이론적 및 코homological 비교 결과를 임의의 cominuscule 플라그 다양체로 일반화한다.