[논문 리뷰] Projections and other images of self-similar sets with no separation condition

Ábel Farkas|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 10.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 분리 조건이 부과되지 않은 경우에 자가유사 집합의 하우스도르프 차원과 측도가 선형 영상에 의해 어떻게 변하는지 조사한다. 만약 유사 변환의 직교 부분들에 의해 생성된 군이 유한할 경우, 모든 선형 영상은 그래프-지정 불린집합이며, 일부 투영에서는 차원이 감소함을 보여준다; 보다 일반적으로, 차원과 측도는 이 군의 폐포에 대해 불변이며, 서로소 부분집합들의 영상의 교차에 대한 측도는 0이다.

ABSTRACT

We investigate how the Hausdorff dimension and measure of a self-similar set $K\subseteq\mathbb{R}^{d}$ behave under linear images. This depends on the nature of the group $\mathcal{T}$ generated by the orthogonal parts of the defining maps of $K$. We show that if $\mathcal{T}$ is finite then every linear image of $K$ is a graph directed attractor and there exists at least one projection of $K$ such that the dimension drops under the image of the projection. In general, with no restrictions on $\mathcal{T}$ we establish that $\mathcal{H}^{t}(L\circ O(K))=\mathcal{H}^{t}(L(K))$ for every element $O$ of the closure of $\mathcal{T}$, where $L$ is a linear map and $t=\dim_{H}K$. We also prove that for disjoint subsets $A$ and extbf{$B$} of $K$ we have that $\mathcal{H}^{t}(L(A)\cap L(B))=0$. Hochman and Shmerkin showed that if $\mathcal{T}$ is dense in $SO(d,\mathbb{R})$ and the strong separation condition is satisfied then $\dim_{H}(g(K))=\min\{\dim_{H}K,l\} $ where $g$ is a continuously differentiable map of rank $l$. We deduce the same result without any separation condition and we generalize a result of Ero$\breve{\mathrm{g}}$lu by obtaining that $\mathcal{H}^{t}(g(K))=0$.

연구 동기 및 목표

• 분리 조건이 가정되지 않은 경우에 자가유사 집합의 하우스도르프 차원과 측도가 선형 영상에 의해 어떻게 변하는지 이해하는 것.
• 유사 변환의 직교 부분들에 의해 생성된 군이 선형 영상과 그 투영의 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는지 분석하는 것.
• 호크만과 셰르킨의 결과 및 에로글루의 결과를 강한 분리 조건을 제거하여 일반화하는 것.
• 서로소 부분집합들의 영상의 교차에 대한 측도가 선형 변환 하에 0임을 확립하는 것.

제안 방법

• 자기유사 집합 $K$를 정의하는 유사 변환의 직교 부분들에 의해 생성되는 군 $\mathcal{T}$ 분석.
• $\mathcal{T}$의 폐포를 사용하여 $\overline{\mathcal{T}}$의 원소들과 조합된 선형 변환 하에서 $\mathcal{H}^t$-측도의 불변성을 보여주는 것.
• 만약 $\mathcal{T}$가 유한할 경우, $K$의 모든 선형 영상이 그래프-지정 불린집합임을 증명하는 것.
• 모든 $O \in \overline{\mathcal{T}}$에 대해 $\mathcal{H}^t(L \circ O(K)) = \mathcal{H}^t(L(K))$임을 보이는 것, 여기서 $t = \dim_H K$.
• $\mathcal{T}$가 유한할 경우 투영 하에서 차원 감소 결과를 적용하는 것.
• 측도 이론적 추론을 사용하여 서로소 부분집합 $A, B \subset K$에 대해 $\mathcal{H}^t(L(A) \cap L(B)) = 0$임을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 조건이 없을 경우 자가유사 집합의 하우스도르프 차원은 선형 투영에 의해 어떻게 변화하는가?
• RQ2 유사 변환의 직교 부분들에 의해 생성된 군 $\mathcal{T}$는 선형 영상의 행동을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 호크만과 셰르킨의 차원 감소 결과는 강한 분리 조건이 없는 자가유사 집합으로까지 일반화될 수 있는가?
• RQ4 어떤 조건에서 $\overline{\mathcal{T}}$의 원소들과 조합된 선형 변환 하에서 $t$-차원 하우스도르프 측도가 보존되는가?
• RQ5 어떤 조건에서 $K$의 서로소 부분집합들의 선형 변환 하에서의 영상 교차가 $\mathcal{H}^t$에 대해 영이 되는가?

주요 결과

• 만약 유사 변환의 직교 부분들에 의해 생성된 군 $\mathcal{T}$가 유한할 경우, $K$의 모든 선형 영상은 그래프-지정 불린집합이다.
• 적어도 하나의 투영에서 $K$의 하우스도르프 차원이 감소하는 경우가 존재한다.
• 모든 선형 변환 $L$과 $\mathcal{T}$의 폐포에 속하는 모든 $O$에 대해 $\mathcal{H}^t(L \circ O(K)) = \mathcal{H}^t(L(K))$임이 성립하며, 여기서 $t = \dim_H K$이다.
• 서로소 부분집합 $A$와 $B$에 대해 $L(A) \cap L(B)$의 $t$-차원 하우스도르프 측도는 0이다.
• 호크만과 셰르킨의 $C^1$ 사상에 의한 차원 감소 결과는 강한 분리 조건이 없는 경우로 일반화된다.
• 에로글루의 $\mathcal{H}^t(g(K)) = 0$ 결과는 어떤 분리 조건도 없이 확장된다.