[논문 리뷰] Projective and birational geometry of Grassmannians and other special varieties

Rick Rischter|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 16.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 57인용 수 5

한 줄 요약

이 학위논문은 오실레이팅 공간을 활용하여 그라스만만과 세그레-베로네제 다양체에서의 시컨트 결함성 문제를 연구함으로써, 예상치 못한 치수를 가진 시컨트 다양체를 분석하기 위한 새로운 방법을 도입한다. 또한 일반 점들에서의 그라스만만의 블로우업의 벨로지컬 기하학을 조사하여, 이러한 블로우업이 모리 드림 공간(Mori dream space)이 되는 조건을 규명하고, 이러한 경우에 대해 명시적인 경계를 제시한다. 이는 특히 $ f(r,n) $의 첫 번째 알려진 하한을 포함하여, $ \mathbb{G}(r,n)_k $가 여전히 모리 드림 공간이 되는 최대 일반 점의 수에 대한 첫 번째 알려진 하한을 제공한다.

ABSTRACT

In the first part of the thesis, we study a classical invariant of projective varieties, the secant defectivity. The second part is devoted to modern algebraic geometry, we study the birational geometry of blow-ups of Grassmannians at points.

연구 동기 및 목표

• 오실레이팅 공간을 기반으로 한 새로운 방법을 개발하여 프로젝티브 다양체에서의 시컨트 결함성을 연구한다.
• 이 방법을 사용하여 시컨트 결함성이 있는 그라스만만과 세그레-베로네제 다양체를 분류한다.
• 일반 점에서의 그라스만만의 블로우업이 모리 드림 공간(MDS)이 되는 조건을 규명한다.
• 일반 점 $ k $개의 블로우업이 여전히 MDS인 최대 수 $ f(r,n) $에 대한 하한을 계산한다.
• 그라스만만의 블로우업에서의 로그 팔로 및 모리 드림 공간 성질 간의 관계를 탐구한다.

제안 방법

• 오실레이팅 공간 이론을 도입하고 적용하여 시컨트 다양체의 치수를 분석한다.
• 오실레이팅 공간 방법을 사용하여 그라스만만과 세그레-베로네제 다양체에서의 시컨트 결함성을 탐지한다.
• 모리 이론과 모리 카메라 분해를 통해 일반 점에서의 그라스만만의 블로우업을 연구한다.
• 효율적인 콧뿔이 유리 다각형이면서 유한 생성일 경우에만 다양체가 모리 드림 공간임을 증명하는 기준을 적용한다.
• 플립과 유리 사상의 인수분해를 활용하여 블로우업의 네프 및 가시성 콧뿔을 분석한다.
• 프로젝티브 공간의 블로우업에 대한 기존 결과를 활용하여 그라스만만에 대한 추측과 경계를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 $ (r,n) $ 에서 $ \mathbb{G}(r,n) $ 의 일반 점에서의 블로우업이 모리 드림 공간인가?
• RQ2 일반 점의 최대 수 $ f(r,n) $ 는 무엇인가? 이에 대해 $ \mathbb{G}(r,n)_k $ 가 여전히 모리 드림 공간이 되는가?
• RQ3 그라스만만과 세그레-베로네제 다양체의 시컨트 결함성은 오실레이팅 공간의 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 일반 점 $ k $개에서의 그라스만만의 블로우업이 로그 팔로이지만 모리 드림 공간이 아니게 될 수 있는가?
• RQ5 작은 $ k $ 에 대해 $ \operatorname{Eff}(\mathbb{G}(r,n)_k) $ 의 모리 카메라 분해의 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 모든 $ r \geq 1 $ 에 대해 $ \mathbb{G}(r,n) $ 의 일반 점에서의 블로우업은 모리 드림 공간이며, 이는 $ f(r,n) \geq 1 $ 이다.
• 특히 $ r=1 $ 인 경우, $ n=2r+1 $ 또는 $ n=2r+2 $ 이면 $ f(1,n) \geq 2 $ 이며, $ f(1,5) \geq 3 $, $ f(1,4) \geq 4 $ 이다.
• 일반 점 하나에서의 $ \mathbb{G}(r,n)_1 $ 의 가시성 콧뿔은 $ n = 2r+1 $ 이면 $ \operatorname{cone}(H, H - rE) $ 이고, $ n > 2r+1 $ 이면 $ \operatorname{cone}(H, H - (r+1)E) $ 이다.
• $ \operatorname{Eff}(\mathbb{G}(r,n)_1) $ 의 모리 카메라 분해의 벽은 $ E, H, H-E, \dots, H-(r+1)E $ 이다.
• $ \mathbb{G}(1,4) $ 에서는 $ f(1,4) \geq 4 $ 이며, 효율 콧뿔의 유한 생성성 부족에 기반한 증거로 인해 그 값은 4 또는 5일 가능성이 있다.
• 추측으로는 $ \mathbb{G}(r,n)_k $ 가 모리 드림 공간이 되는 것은 $ k \leq f(r,n) $ 일 때 뿐이며, $ n > 4 $ 이면 $ f(0,n) = n+3 $ 이며, 이는 프로젝티브 공간의 경우를 일반화하는 것으로 보인다.