[논문 리뷰] Projective Crystalline Representations of Étale Fundamental Groups and Twisted Periodic Higgs-de Rham Flow

Ruiran Sun, Jinbang Yang외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 사영적 크리스탈 표현과 왜곡된 주기적 히그-드 라함 흐름을 도입하며, 왜곡된 Fontaine-Faltings 모듈을 통해 이들의 범주 간의 동치를 수립한다. $\mathbb{P}^1$ 위에 $n \geq 4$개의 마킹된 점을 가진 안정적인 주기적 히그(bundle)는 기하학적으로 절대적으로 기약인 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{Z}_p^{\mathrm{ur}})$-크리스탈 표현을 유도함을 증명하며, 네 점의 경우에 대해 명시적인 자기사상 공식을 제시하고, 관련 타원곡선의 토크션 점과의 연결을 추측한다.

ABSTRACT

This paper contains three new results. {\bf 1}.We introduce new notions of projective crystalline representations and twisted periodic Higgs-de Rham flows. These new notions generalize crystalline representations of étale fundamental groups introduced in [7,10] and periodic Higgs-de Rham flows introduced in [19]. We establish an equivalence between the categories of projective crystalline representations and twisted periodic Higgs-de Rham flows via the category of twisted Fontaine-Faltings module which is also introduced in this paper. {\bf 2.}We study the base change of these objects over very ramified valuation rings and show that a stable periodic Higgs bundle gives rise to a geometrically absolutely irreducible crystalline representation. {\bf 3.} We investigate the dynamic of self-maps induced by the Higgs-de Rham flow on the moduli spaces of rank-2 stable Higgs bundles of degree 1 on $\mathbb{P}^1$ with logarithmic structure on marked points $D:=\{x_1,\,...,x_n\}$ for $n\geq 4$ and construct infinitely many geometrically absolutely irreducible $\mathrm{PGL_2}(\mathbb Z_p^{\mathrm{ur}})$-crystalline representations of $π_1^ ext{et}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}_p^ ext{ur}}\setminus D)$. We find an explicit formula of the self-map for the case $\{0,\,1,\,\infty,\,λ\}$ and conjecture that a Higgs bundle is periodic if and only if the zero of the Higgs field is the image of a torsion point in the associated elliptic curve $\mathcal{C}_λ$ defined by $ y^2=x(x-1)(x-λ)$ with the order coprime to $p$.

연구 동기 및 목표

• 크리스탈 표현과 주기적 히그-드 라함 흐름을 사영적 크리스탈 표현과 왜곡된 주기적 히그-드 라함 흐름으로 일반화하기.
• 새로운 종류의 왜곡된 Fontaine-Faltings 모듈의 범주를 통해 사영적 크리스탈 표현의 범주와 왜곡된 주기적 히그-드 라함 흐름의 범주 간의 동치를 수립하기.
• 매우 강한 분할환 위에서 이러한 대상의 기저 변경을 연구하고, 안정적인 주기적 히그(bundle)가 기하학적으로 절대적으로 기약인 크리스탈 표현을 유도함을 증명하기.
• $\mathbb{P}^1$ 위에 $n \geq 4$개의 마킹된 점이 있는 랭크-2 안정 히그(bundle)의 모듈리 공간에서 히그-드 라함 흐름의 자기사상의 역학을 분석하기.
• $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}_p^{\mathrm{ur}}}$에서 $n$개의 점을 뺀 에탈 기본군에 대해 무한히 많은 기하학적으로 절대적으로 기약인 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{Z}_p^{\mathrm{ur}})$-크리스탈 표현을 구성하기.

제안 방법

• 크리스탈 표현과 히그-드 라함 흐름 사이의 다리로 삼을, 내부 구조를 가진 왜곡된 Fontaine-Faltings 모듈을 도입하기.
• 호환되는 프로베니우스와 필터링 구조를 가진 표현의 프로젝티브 시스템으로서 사영적 크리스탈 표현을 정의하기.
• 필터링된 드 라함 벡터(bundle) 위에서 역 카르티에 함수와 그레이딩 함수를 반복 적용하여 왜곡된 주기적 히그-드 라함 흐름을 구성하기.
• 역 카르티에 함수와 프로베니우스 당김을 사용하여 히그(bundle)와 드 라함 벡터(bundle)를 연결하고, 이로써 모듈리 공간 위의 자기사상을 구성하기.
• $\mathbb{Z}_p^{\mathrm{ur}}$-선형 구조와 매우 강한 분할환 위의 기저 변경을 적용하여 흐름의 구조를 올리고 안정화하기.
• 토크션 점 추측을 사용하여, 네 개의 마킹된 점 $\big\bracevert 0,1,\frown,\frown\big\bracevert$ 이면 랭크-2 히그(bundle)의 모듈리 공간 위의 자기사상에 대한 명시적 공식을 유도하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에탈 기본군의 크리스탈 표현을 사영적 구조와 왜곡된 주기성을 포함하도록 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 사영적 크리스탈 표현과 왜곡된 주기적 히그-드 라함 흐름 사이의 정확한 범주 동치는 무엇인가?
• RQ3 $\mathbb{P}^1$ 위에 로그 구조를 가진 안정적인 주기적 히그(bundle)가 기하학적으로 절대적으로 기약인 크리스탈 표현을 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 $\mathbb{P}^1$ 위에 $n \geq 4$개의 마킹된 점이 있는 랭크-2 안정 히그(bundle)의 모듈리 공간에서 히그-드 라함 흐름의 자기사상의 역학적 행동은 어떻게 되는가?
• RQ5 히그(bundle)가 주기적일 필요충분조건이 그 히그 필드의 영점이 관련 타원곡선 $y^2 = x(x-1)(x-\frown)$ 위의 $p$와 서로소인 차수의 토크션 점의 이미지인가?

주요 결과

• 사영적 크리스탈 표현의 범주와 왜곡된 주기적 히그-드 라함 흐름의 범주 간에 왜곡된 Fontaine-Faltings 모듈의 범주를 통해 동치가 성립한다.
• $n \geq 4$개의 마킹된 점이 있는 $\mathbb{P}^1$ 위의 안정적인 주기적 히그(bundle)는 $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{ur}}/\mathbb{Q}_p^{\mathrm{ur}})$의 기하학적으로 절대적으로 기약인 크리스탈 표현을 유도한다.
• 네 개의 마킹된 점 $\big\bracevert 0,1,\frown,\frown\big\bracevert$의 경우, 모듈리 공간 위의 히그-드 라함 자기사상에 대한 명시적 공식이 도출된다.
• 논문은 $D = \big\bracevert x_1,\frown,\frown\big\bracevert$ 이면 $\mathbb{\pi}_1^{\text{ét}}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}_p^{\mathrm{ur}}} \setminus D)$에 대해 무한히 많은 기하학적으로 절대적으로 기약인 $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{Z}_p^{\mathrm{ur}})$-크리스탈 표현을 구성한다.
• 저자들은 히그(bundle)가 주기적일 필요충분조건이 그 히그 필드의 영점이 관련 타원곡선 $\frown_\frown$ 위의 $p$와 서로소인 차수의 토크션 점의 이미지임을 추측한다.
• $\mathbb{P}^1$ 위에 로그 구조를 가진 랭크-2 안정 히그(bundle)의 모듈리 공간에서의 자기사상은 프로베니우스 준선형이며, 네 점의 경우에 대해 명시적으로 계산 가능함을 보여준다.