[논문 리뷰] Projective rational manifolds with non-finitely generated discrete automorphism group and infinitely many real forms

Tien‐Cuong Dinh, Keiji Oguiso외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 각 n ≥ 3에 대해, 자명하지 않은 유한 생성이 아닌 이산 자기동형군을 가지며, 실수 체 위에서 무한히 많은 서로 비동형인 실수 구조를 갖는, 복소수 위상공간에서의 매끄럽고 프로젝티브한 유리 대상의 차원 n을 구성한다. 이 구성은 Lesieutre와 Dinh–Oguiso의 기법을 바탕으로 하여 이러한 대상의 존재를 보이며, 고차원 유리 기하학에서 자기동형군과 실수 구조의 구조에 관한 오랫동안 남아 있던 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We show, among other things, that for each integer $n \ge 3$, there is a smooth complex projective rational variety of dimension $n$, with discrete non-finitely generated automorphism group and with infinitely many mutually non-isomorphic real forms. Our result is inspired by the work of Lesieutre and the work of Dinh and Oguiso.

연구 동기 및 목표

• 차원 n ≥ 3인 매끄럽고 복소수 위상공간에서의 프로젝티브 유리 대상 중에서 이산적이며 유한 생성이 아닌 자기동형군을 갖는 것을 구성하기.
• 이러한 대상들에 대해 서로 비동형인 실수 구조가 무한히 많음을 입증하기.
• Lesieutre와 Dinh–Oguiso의 기법을 확장하고 적용하여 이러한 기하학적 구조를 실현하기.
• 고차원 유리 대상에서 자기동형군과 실수 구조의 유한성 및 구조에 관한 열린 질문을 다루기.

제안 방법

• 3차원 이상의 유리 대상에 대한 구체적 예를 구성하기 위해 비라시오널 기하학 기법을 활용하기.
• 자기동형군의 역학과 크레모나 군의 구조에 관한 결과를 적용하여 자기동형군이 이산적이고 유한 생성이 아니라는 것을 보장하기.
• 대수기하학에서의 실수 구조 이론을 활용하여 동일한 복소수 대상 위에서 서로 비동형인 실수 구조가 무한히 존재함을 보여주기.
• 블로우업과 등변 compactification의 기하학을 활용하여 자기동형군 행동을 제어하기.
• 특정 불변의 분할자와 유리 곡선의 존재를 이용하여 자기동형군의 유한 생성을 방해하기.
• 복소대수기하학과 수체기하학의 결과를 결합하여 실수 체 위에서의 실수 구조 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원 n ≥ 3인 매끄럽고 복소수 위상공간에서의 프로젝티브 유리 대상이 이산적이며 유한 생성이 아닌 자기동형군을 가질 수 있는가?
• RQ2 이러한 대상들이 실수체 위에서 무한히 많은 서로 비동형인 실수 구조를 갖는가?
• RQ3 어떤 기하학적 조건이 유리 대상의 자기동형군이 유한 생성이 아니게 하는가?
• RQ4 기존의 비라시오널 기하학 결과를 활용하여 이러한 대상들을 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 실수 구조는 유리 대상의 자기동형군의 전반적 구조에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 각 정수 n ≥ 3에 대해, 차원 n을 갖는 매끄럽고 복소수 위상공간에서의 프로젝티브 유리 대상 중에서 이산적이며 유한 생성이 아닌 자기동형군을 갖는 것이 존재한다.
• 구성된 대상들은 실수체 위에서 서로 비동형인 실수 구조를 무한히 갖는다.
• 각 대상의 자기동형군은 이산적이며, 즉 양의 차원을 갖는 대수적 부분군을 갖지 않는다.
• 자기동형군의 유한 생성이 아닌 것은, 대상을 보존하는 무한히 많은 독립적인 비라시오널 변환의 존재에서 기인한다.
• 무한히 많은 실수 구조의 존재는 동일한 복소수 대상 위에서 서로 비동형인 실수 구조를 구성함으로써 입증된다.
• 이 결과는 Lesieutre와 Dinh–Oguiso의 이전 성과를 고차원에서 일반화하고 확장한다.