[논문 리뷰] Projectively invariant symbol map and cohomology of vector fields Lie algebras intervening in quantization

Pierre Lecomte, Valentin Ovsienko|ArXiv.org|1996. 11. 18.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 19인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^n$의 코탄제인 벡터 필드 위의 미분 연산자에서 다항함수로의 $sl_{n+1}$-등변 기호 지도를 구성하여, $sl_{n+1}$-모듈러스 간의 동형을 확립한다. 또한 $\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n)$의 대칭 텐서장 위의 첫 번째 코homology를 계산하여 $\mathrm{Vect}(M)$-등변 양자화의 장애를 특정하고, 이러한 코homology가 사라지는 최대 부분대수로 $sl_{n+1}$가 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We define the unique (up to normalization) symbol map from the space of linear differential operators on $R^n$ to the space of polynomial on fibers functions on $T^* R^n$, equivariant with respect to the Lie algebra of projective transformations $sl_{n+1}\subset\Vect(R^n)$. We apply the constructed $sl_{n+1}$-invariant symbol to studying of the natural one-parameter family of $\Vect(M)$-modules on the space of linear differential operators on an arbitrary manifold M. Each of the $\Vect(M)$-action from this family can be interpreted as a deformation of the standard $\Vect(M)$-module $S(M)$ of symmetric contravariant tensor fields on M. We define (and calculatein the case: $M= R^n$) the corresponding cohomology of $\Vect(M)$ related with this deformation. This cohomology realize the obstruction for existence of equivariant symbol and quantization maps. The projective Lie algebra $sl_{n+1}$ naturally appears as the algebra of symmetries on which the involved $\Vect(M)$-cohomology is trivial.

연구 동기 및 목표

• 프로젝티브 리 대수 $sl_{n+1}$가 $\mathbb{R}^n$에 작용하는 데 등변인 표준 기호 지도를 정의하는 것.
• 일차 파라미터 가중치를 가진 일련의 작용으로써 표준 $\mathrm{Vect}(M)$-모듈러스 작용의 변형을 연구하는 것.
• 대칭 반변량 텐서장 위에서 $\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n)$의 첫 번째 코homology 군을 계산하여 $\mathrm{Vect}(M)$-등변 양자화의 장애를 포착하는 것.
• $sl_{n+1}$가 이러한 코homology 클래스가 사라지는 최대 부분대수임을 보여주는 것, 이는 이 부분대수에서의 모듈러스 작용이 자명함을 의미한다.

제안 방법

• $\mathbb{R}^n$ 위에서 프로젝티브 벡터장의 작용을 사용하여 $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$에서 $\mathrm{Pol}(T^*\mathbb{R}^n)$로의 유일한 $sl_{n+1}$-등변 기호 지도를 구성한다.
• $\mathrm{Vect}(M)$-작용을 $\Gamma(S(TM))$ 위의 표준 작용의 변형으로 모델링하며, 밀도 가중치 $\lambda$로 매개변수화한다.
• 리 대수 코hom로 기법을 적용하여 $H^1(\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n), \mathrm{Hom}_{\mathrm{diff}}(\Gamma(S^k(TM)), \Gamma(S^l(TM))))$를 계산하고, 등변 양자화의 장애를 특정한다.
• $sl_{n+1}$-등변 이중선형 사상 $\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n) \times \Gamma(S^k(TM)) \to \Gamma(S^l(TM))$를 분류하여, 고다이 전환량을 고차원으로 일반화한다.
• $\mathbb{R}^n$, $\mathbb{P}^n$, $S^n$, $\mathbb{T}^n$의 프로젝티브 구조를 이용하여 전역적 $sl_{n+1}$-등변 구조를 정의한다.
• 기호 지도를 적용하여 $T^*S^n$ 위의 기하학적 흐름을 양자화하고, 곡률에 의존하는 잠재력을 가진 라플라스–베르트라미 연산자를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 미분 연산자에서 $T^*\mathbb{R}^n$ 위의 다항함수로의 $sl_{n+1}$-등변 기호 지도가 고유하게 존재하는가?
• RQ2 $\mathrm{Vect}(M)$-모듈러스 작용의 구조는 어떻게 되며, 표준 대칭 텐서장 위의 작용은 어떻게 변형되는가?
• RQ3 $\mathrm{Vect}(M)$-등변 양자화 지도의 존재를 방해하는 코homology 군은 무엇인가?
• RQ4 $sl_{n+1}$은 왜 코homological 장애가 사라지는 최대 부분대수인가?
• RQ5 $sl_{n+1}$-등변 양자화 지도는 기하학적 흐름 해밀토니언 $H = g^{ij}\xi_i\xi_j$에 어떻게 작용하는가?

주요 결과

• $\mathbb{R}^n$ 위에서의 $sl_{n+1}$-등변 기호 지도는 정규화를 제외하고 고유하며, $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$와 $\mathrm{Pol}(T^*\mathbb{R}^n)$ 사이의 $sl_{n+1}$-모듈러스 동형을 제공한다.
• $\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n)$의 첫 번째 코homology 군 $H^1(\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n), \mathrm{Hom}_{\mathrm{diff}}(\Gamma(S^k(TM)), \Gamma(S^l(TM))))$를 계산하고, 이가 $\mathrm{Vect}(M)$-등변 양자화의 장애를 분류함을 보였다.
• $sl_{n+1}$-불변 기호 지도는 $n=1$인 경우 코hen, 마닌, 자지어가 구성한 것과 일치한다.
• $T^*S^n$ 위의 기하학적 흐름에 대해, $H = g^{ij}\xi_i\xi_j$의 $sl_{n+1}$-등변 양자화는 $A_H = \Delta - \frac{n+1}{12(n+2)}R$를 유도하며, 여기서 $R$는 스칼라 곡률이다.
• $\mathrm{Vect}(\mathbb{R}^n)$ 위의 코homology 군 $c_2$는 변형을 지배하며, 겔판트–후크스 코호몰로지의 다차원 일반화이다.
• $k$개의 리 미분의 대칭화된 곱의 $sl_{n+1}$-등변 기호 지도는 명시적인 공식을 가짐으로써, 미분 연산자 공간 내에서 예상치 못한 대수적 구조를 드러낸다.