[논문 리뷰] Projectors on the intermediate algebraic Jacobians

Charles Vial|arXiv (Cornell University)|2009. 07. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 21인용 수 39

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 사영인 다양체의 차우 군에서, 곡선에 의해 생성되는 코homology의 부분을 사영하는 정규직교 아이디포턴트 대응을 구성한다. 이는 문르의 알바네제 및 피카르 사영자들을 일반화한 것으로, 제로-사이클의 차우 군이 곡선에 의해 지지되는 다양체—예를 들어 유리 연결 4차원 다양체—는 자기쌍대 차우-쿠른트 분해를 가지며, 이는 모티브 리프슈츠 추측과 그로텐디크의 표준 추측을 만족함을 보여준다.

ABSTRACT

Let $X$ be a complex smooth projective variety of dimension $d$. Under some assumption on the cohomology of $X$, we construct mutually orthogonal idempotents in $CH_d(X imes X) \otimes \Q$ whose action on algebraically trivial cycles coincides with the Abel-Jacobi map. Such a construction generalizes Murre's construction of the Albanese and Picard idempotents and makes it possible to give new examples of varieties admitting a self-dual Chow-Künneth decomposition satisfying the motivic Lefschetz conjecture as well as new examples of varieties having a Kimura finite dimensional Chow motive. For instance, we prove that fourfolds with Chow group of zero-cycles supported on a curve (e.g. rationally connected fourfolds) have a self-dual Chow-Künneth decomposition which satisfies the motivic Lefschetz conjecture and consequently Grothendieck's standard conjectures. We also prove that hypersurfaces of very low degree are Kimura finite dimensional.

연구 동기 및 목표

• 문르의 알바네제 및 피카르 사영자 구성법을 $H_1$과 $H_{2d-1}$ 이외의 고차수 홀수 코homological 차수로 일반화하기 위해.
• 차우 군 $CH_d(X \times X) \otimes \mathbb{Q}$ 내에서, $H_{2i+1}(X)$의 곡선에 의해 생성되는 부분 호지 구조에 사영하는 정규직교 아이디포턴트 대응을 구성하기 위해.
• 자기쌍대 차우-쿠른트 분해를 가질 수 있는 조건을 확립하기 위해.
• 제로-사이클의 차우 군이 곡선에 의해 지지되는 다양체가 키무라의 의미에서 유한차원 차우 모티브를 가짐을 증명하기 위해.

제안 방법

• 대응 $\Gamma \in CH_{i+1}(C \times X)$ 를 통한 $H_1(C)$ 의 오버플로우를 통해 생성되는 $H_{2i+1}(X)$ 의 부분군을 $N^i H_{2i+1}(X)$ 로 정의한다.
• 쌍대곱 쌍대형성의 비퇴화 조건을 $N^{\lfloor(2d-i)/2\rfloor}H_{2d-i}(X)$ 와 $N^{\lfloor i/2\rfloor}H_i(X)$ 간의 쌍대곱 쌍대형성 쌍에 적용하여 사영자의 존재를 보장한다.
• 쌍대성에 의해 $N^i H_{2i}(X)$ 와 $N^i H_{2i+1}(X)$ 에 사영하는 아이디포턴트 대응 $\Pi_{2i,i}$ 를 $CH_d(X \times X) \otimes \mathbb{Q}$ 내에서 구성한다.
• 잔넨의 준단순성 정리와 수치적 동치에서 유리 동치로의 올림을 이용하여, 유리 동치 모odulo에서 사영자를 구성한다.
• 일반화된 대각선 분해를 적용하여, 대수적 사이클에 대한 가정 하에 $H_i(X) = N^{\lfloor i/2\rfloor}H_i(X)$ 임을 보인다.
• 리프슈츠 $(1,1)$-정리와 호지 코hom로지의 퇴화를 이용하여 호지 클래스가 대수적임을 보장하고, 이를 통해 CK 분해를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 문르의 아이디포턴트 사영자는 $H_1$과 $H_{2d-1}$ 이외의 중간 코homological 차수로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 어떤 코homological 조건에서 다양체가 모티브 리프슈츠 추측을 만족하는 자기쌍대 차우-쿠른트 분해를 가질 수 있는가?
• RQ3 제로-사이클의 차우 군이 곡선에 의해 지지되는 다양체가 키무라의 의미에서 유한차원 차우 모티브를 가지는가?
• RQ4 유리 연결 4차원 다양체와 저차수 초입체에 대해 표준 추측을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ5 어떤 조건에서 다양체의 코homology가 대응을 통해 곡선의 코homology에 의해 생성되는가?

주요 결과

• 제로-사이클의 차우 군이 곡선에 의해 지지되는 4차원 다양체—예를 들어 유리 연결 4차원 다양체—는 모티브 리프슈츠 추측을 만족하는 자기쌍대 차우-쿠른트 분해를 가진다.
• 이러한 4차원 다양체는 자기쌍대 CK 분해의 존재로 인해 그로텐디크의 표준 추측을 만족한다.
• 매우 낮은 차수의 초입체, 예를 들어 5차원 입방체 초입체와 이중체와 입방체의 교차, 유한차원 차우 모티브를 가짐을 보였다.
• 홀수 차원 다양체에서 $H^{n+1}(X, \Omega_X^{n-1})$ 가 퇴화하고, 낮은 차수의 차우 군이 표현 가능할 경우, 다양체는 CK 분해를 가지며 모티브 리프슈츠 추측을 만족한다.
• 홀수 차원 다양체의 CK 분해 내 아이디포턴트 $\Pi_d$ 는 $\dim Z = n+2$ 인 $X \times Z$ 위에 지지되는 사이클로 표현될 수 있다.
• 유한차원 모티브를 가진 다양체에서 매끄러운 곡선을 블로잉업하면 유한차원성은 유지되며, 이러한 다양체의 곱 역시 유한차원 모티브를 가진다.