[논문 리뷰] Proof Complexity of Linear Logics

Amirhossein Akbar Tabatabai, Raheleh Jalali|arXiv (Cornell University)|2026. 01. 29.

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한 줄 요약

이 논문은 구조적 규칙이 증명 복잡도에 미치는 영향을 분리하여 다양한 선형 및 부분구조 계산에 대해 지수적 및 부분지수 하한을 증명하고, 절단 없이 또는 약화된 형태로의 전환 시 지수적 속도향상을 보인다.

ABSTRACT

Proving proof-size lower bounds for $\mathbf{LK}$, the sequent calculus for classical propositional logic, remains a major open problem in proof complexity. We shed new light on this challenge by isolating the power of structural rules, showing that their combination is extremely stronger than any single rule alone. We establish exponential (resp. sub-exponential) proof-size lower bounds for $\mathbf{LK}$ without contraction (resp. weakening) for formulas with short $\mathbf{LK}$-proofs. Concretely, we work with the Full Lambek calculus with exchange, $\mathbf{FL_e}$, and its contraction-extended variant, $\mathbf{FL_{ec}}$, substructural systems underlying linear logic. We construct families of $\mathbf{FL_e}$-provable (resp. $\mathbf{FL_{ec}}$-provable) formulas that require exponential-size (resp. sub-exponential-size) proofs in affine linear logic $\mathbf{ALL}$ (resp. relevant linear logic $\mathbf{RLL}$), but admit polynomial-size proofs once contraction (resp. weakening) is restored. This yields exponential lower bounds on proof-size of $\mathbf{FL_e}$-provable formulas in $\mathbf{ALL}$ and hence for $\mathbf{MALL}$, $\mathbf{AMALL}$, and full classical linear logic $\mathbf{CLL}$. Finally, we exhibit formulas with polynomial-size $\mathbf{FL_e}$-proofs that nevertheless require exponential-size proofs in cut-free $\mathbf{LK}$, establishing exponential speed-ups between various linear calculi and their cut-free counterparts.

연구 동기 및 목표

• 구조 규칙(수축, 약화)을 제거하는 것이 선형/부분구조 논리에서 증명 크기에 어떤 영향을 미치는지 조사한다.
• ALL 및 RLL 변형에서 FL_e-증명 가능한 공식을 대상으로 지수적 및 부분지수 하한을 보인다.
• 특정 공식에 대해 수축 또는 약화를 복원하면 다항식 크기의 증명이 가능하다는 것을 보인다.
• 컷의 힘을 보여주기 위해, 다항식 FL_e-증명을 가지면서도 절단 없는 LK로는 지수적 크기의 증명이 필요한 공식을 제시한다.

제안 방법

• Chu의 변환을 사용하여 직관적 구조적 논리에서의 하한을 고전적 변형으로 전이시킨다.
• FL_ec에서의 증명가능성과 카운터 기계 도달 가능성 간의 연결을 활용하여 EXPSPACE-하드성을 얻는다.
• 단조 가능 보간법(monotone feasible interpolation, LK^{-}를 이용) 을 적용하여 지수적 분리를 얻고, 이 방법을 절단 없는 설정 및 부분구조적 설정에 맞게 적용한다.
• FL_e-증명 가능하나 ALL 증명이 지수적이고, 반면 LK 증명은 다항식인 명시적 수식족(A_n)을 구성한다.
• 컷 없는 시스템과 컷이 있는 시스템을 비교하여, 컷이 존재할 때 여러 계산에서 지수적 속도향상을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수축과 약화가 증명 크기를 결정하는 정확한 역할은 무엇인가?
• RQ2 수축 없는 시스템과 약화 없는 시스템을 LK(고전적 시퀀트 계산)로부터 지수적 또는 부분지수 하한으로 분리할 수 있는가?
• RQ3 컷 없는 계산이 이러한 논리들에서 본래 컷이 있는 상대 시스템보다 본질적으로 더 긴 증명을 필요로 하는가?
• RQ4 고전적 선형 논리 증명이 부분구조 논리에서 효율적으로 시뮬레이션될 수 있으며, 그에 따른 증명 크기 결과는 무엇인가?
• RQ5 Chu의 구성과 벡터 가법 시스템과의 연결과 같은 변환이 증명 크기 하한에 어떤 정보를 제공하는가?

주요 결과

• ALL 증명이 지수적 크기인 반면 LK 증명은 다항식인 FL_e-증명 가능 공식이 존재하여 수축 없는 계산에 대한 지수적 분리를 입증한다.
• RLL 증명은 다항식 LK 증명을 가지지만, FL_ec-증명 가능한 공식이 존재하고 RLL-증명은 모든 부분지수 함수 f에 대해 부분지수적이다.
• 컷 없는 LK^{-} 증명은 단조 가능한 보간법을 달성하여, 단조 회로 복잡도 주장으로 지수적 하한을 가능하게 한다.
• 다항식 FL_e-증명을 가지지만 컷 없는 LK에서 지수적 크기의 증명을 요구하는 공리가 있어, 컷이 있을 때 지수적 속도향상을 보인다.
• 수축 및 약화의 조합에 걸쳐 FL_e, CFL_e, IMALL, MALL, ILL, CLL 등 여러 계산에서 컷이 있는 경우와 없는 경우 사이의 지수적 속도향상을 확립한다.