[논문 리뷰] Proof of the Kobayashi conjecture on the hyperbolicity of very general hypersurfaces

Jean-Pierre Demailly|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 22인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 방향성 있는 대수기하학의 제트-반안정성 기법과 일반화된 그린-그리피스-랑 추측을 사용하여, $ \mathbb{P}^{n+1} $ 속 차원 $ n $ 과 차수 $ d \geq 2n+2 $ 인 매우 일반적인 초곡면이 코바야시 초구형임을 증명함으로써 코바야시 추측을 해결한다. 주요 결과는 이러한 초곡면 전부에 대해 초구형임을 확인하며, 일반적인 경우에 최적임이 입증된 바인 $ 2n+2 $ 의 경계를 제공한다.

ABSTRACT

The Green-Griffiths-Lang conjecture stipulates that for every projective variety $X$ of general type over ${\mathbb C}$, there exists a proper algebraic subvariety of $X$ containing all non constant entire curves $f:{\mathbb C} o X$. Using the formalism of directed varieties, we prove here that this assertion holds true in case $X$ satisfies a strong general type condition that is related to a certain jet-semistability property of the tangent bundle $T\_X$. We then use this fact to confirm a long-standing conjecture of Kobayashi (1970), according to which a very general algebraic hypersurface of dimension $n$ and degree at least $2n+2$ in the complex projective space ${\mathbb P}^{n+1}$ is hyperbolic.

연구 동기 및 목표

• 복소 프로젝티브 공간 속 매우 일반적인 초곡면의 코바야시 초구형성에 관한 오랜 추측을 확인하는 것.
• 방향성 있는 프로젝티브 다양체에 대해 그린-그리피스-랑 추측의 일반화된 버전을 수립하는 것.
• 그러한 초곡면 내의 정수 곡선이 대수적으로 열악하다는 것, 즉 적절한 부분다양체에 포함된다는 것을 보여주는 것.
• 일부 제트-반안정성 조건 하에서 캐논리컬 층 $ K_V $ 가 크면 초구형성이 성립한다는 것을 보여주는 것.
• 결과를 초곡면의 여유를 고려한 경우로 확장하고, 차수 경계의 향상 가능성을 탐색하는 것.

제안 방법

• 논문은 $ (X,V) $ 가 프로젝티브 다양체 $ X $ 와 접선다발 $ T_X $ 의 부분다발 $ V \subset T_X $ 로 이루어진 방향성 있는 프로젝티브 다양체의 체계를 사용하여, $ V $ 와 접하는 정수 곡선을 연구한다.
• 초곡면의 전역가운데 가환족의 전체 공간의 초구형성을 분석하기 위해 제트 다발 이론과 세무 토워 구조를 적용한다.
• 조건 $ \sum d_j \geq 2n + c + 1 $ 하에서, $ q \geq N+1 $ 이면 $ \Lambda^q T^*_\mathcal{X} $ 가 절단으로 생성되고 상대적으로 앰플임을 보여주는 데 의존한다.
• 제트 다발의 상대적 앰플리시티와 열화 위치 분석을 통해 전체 곡선 위치 $ \mathop{\rm ECL}(X,V) $ 를 제어한다.
• 클레멘스, 아이엔, 보신의 캐논리컬 다발의 양성과 완전 교차의 기하학에 대한 연구 기법을 통합한다.
• 특히, $ \mathop{\rm ECL}(Y) = \emptyset $ 임을 이용하여, $ \mathbb{P}^{n+1} $ 속 차수 $ \geq 2n+2 $ 인 초곡면 $ Y $ 에 대해 초구형성이 성립함을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복소 프로젝티브 공간 $ \mathbb{P}^{n+1} $ 속 차수 $ \geq 2n+2 $ 인 매우 일반적인 초곡면 내의 모든 정수 곡선은 적절한 대수적 부분다양체에 포함되는가?
• RQ2 그린-그리피스-랑 추측은 캐논리컬 층 $ K_V $ 가 크면 되는 방향성 있는 다양체로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 제트-반안정성 조건 하에서 이러한 방향성 있는 다양체에 대해 전체 곡선 위치 $ \mathop{\rm ECL}(X,V) $ 는 공집합인가?
• RQ4 코바야시 추측의 경계인 $ 2n+2 $ 는 $ 2n+1 $ 로 향상시킬 수 있으며, 이것이 최적인가?
• RQ5 만약 $ X \subset \mathbb{P}^n $ 가 차수 $ \geq 2n+2 $ 인 매우 일반적인 초곡면이면, 여유 $ \mathbb{P}^n \setminus X $ 에서도 코바야시 초구형성이 성립하는가?

주요 결과

• 코바야시 추측이 확인됨: $ \mathbb{P}^{n+1} $ 속 차수 $ d \geq 2n+2 $ 인 매우 일반적인 초곡면은 코바야시 초구형이다.
• 모든 $ n, c \geq 1 $ 과 $ \sum d_j \geq 2n + c + 1 $ 를 만족하는 차수에 대해, $ \mathbb{P}^{n+c} $ 속 매우 일반적인 완전교차는 대수적 제트-초구형이며, 따라서 코바야시 초구형이다.
• 이 결과는 이러한 초곡면에 대해 전체 곡선 위치 $ \mathop{\rm ECL}(X,V) $ 가 공집합임을 의미하며, 비상수 정수 곡선이 존재하지 않음을 암시한다.
• 증명은 제트 다발 $ \Lambda^q T^*_\mathcal{X} $ 가 $ q \geq N+2 $ 에서 상대적으로 앰플임을 확립하여 초구형성에 필요한 양성의 정당성을 확보한다.
• 만약 $ X \subset \mathbb{P}^n $ 가 차수 $ d \geq 2n+2 $ 인 매우 일반적인 초곡면이면, 여유 $ \mathbb{P}^n \setminus X $ 는 코바야시 초구형이다.
• 일반적인 경우에 $ 2n+2 $ 의 경계는 최적이며, $ d = 2n $ 인 경우 자이드베르크의 반례로 이를 입증한다.