[논문 리뷰] Proper connection numbers of complementary graphs

Fei Huang, Xueliang Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 09.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 그래프의 여부에 대한 적절한 연결 수를 조사하며, 노르도우스-가드엄 유형의 부등식을 수립한다: 연결된 여부 그래프 $G$와 $\overline{G}$에 대해 합 $pc(G) + pc(\overline{G})$는 $4 \leq pc(G) + pc(\overline{G}) \leq n$를 만족하며, 상한에 등호가 성립하는 경우는 최대 차수 $n-2$인 트리일 때뿐이다. 이 작업은 적절한 연결 수가 $n-2$인 그래프를 특성화하고, 이를 통해 연결 수의 합에 대한 날카로운 경계를 도출한다.

ABSTRACT

A path $P$ in an edge-colored graph $G$ is called a proper path if no two adjacent edges of $P$ are colored the same, and $G$ is proper connected if every two vertices of $G$ are connected by a proper path in $G$. The proper connection number of a connected graph $G$, denoted by $pc(G)$, is the minimum number of colors that are needed to make $G$ proper connected. In this paper, we investigate the proper connection number of the complement of graph $G$ according to some constraints of $G$ itself. Also, we characterize the graphs on $n$ vertices that have proper connection number $n-2$. Using this result, we give a Nordhaus-Gaddum-type theorem for the proper connection number. We prove that if $G$ and $\overline{G}$ are both connected, then $4\le pc(G)+pc(\overline{G})\le n$, and the only graph attaining the upper bound is the tree with maximum degree $Δ=n-2$.

연구 동기 및 목표

• 그래프 $G$에 대한 구조적 제약 조건 하에서 $G$의 여부의 적절한 연결 수를 조사하는 것.
• $n$개 정점으로 이루어진 모든 그래프 중 적절한 연결 수가 $n-2$인 그래프를 특성화하는 것.
• 여부 그래프의 적절한 연결 수에 대해 날카로운 노르도우스-가드엄 유형의 부등식을 수립하는 것.
• 합의 적절한 연결 수 $G$와 $\overline{G}$에서 상한에 도달하는 극값 그래프를 규명하는 것.

제안 방법

• 구조적 분석과 간선 색칠 성질을 통해 적절한 연결 수가 $n-2$인 그래프를 특성화하는 것.
• 기존의 적절한 경로 색칠 및 스패닝 부분그래프 결과를 활용하여 $pc(G)$와 $pc(\overline{G})$를 경계하는 것.
• 적절한 경로 색칠의 강력한 성질을 적용하여 최소한의 색상으로 연결성을 확보하는 것.
• 다양한 구조적 경우에 대해 여부 그래프 $\overline{G}$를 분석: 단일 컷 정점 없음, 다수의 컴포넌트를 가진 컷 정점, 두 개의 컴포넌트를 가진 컷 정점.
• 컷 정점 $u$에 대해 $G - u$의 컴포넌트 수에 기반한 케이스 분석을 수행하고, $\overline{G}$ 내 완전 $k$-분할 부분그래프에 대한 결과를 적용하는 것.
• 2-연결 및 트리 부분그래프에 대한 $pc(H)$의 기존 경계를 활용하여 $pc(G)$와 $pc(\overline{G})$의 상한을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연결된 여부 그래프 $G$와 $\overline{G}$에 대해 $pc(G) + pc(\overline{G})$의 최대 가능한 값은 무엇인가요?
• RQ2 어느 $n$-정점 그래프가 적절한 연결 수 $n-2$를 갖는가요?
• RQ3 연결된 $G$와 $\overline{G}$에 대해 $pc(G) + pc(\overline{G}) = n$이 성립하는 조건은 무엇인가요?
• RQ4 그래프 $G$에 컷 정점이 존재할 경우, $\overline{G}$의 적절한 연결 수에 어떤 영향을 미치는가요?
• RQ5 적절한 연결 수에 대해 노르도우스-가드엄 유형의 부등식을 수립할 수 있으며, 만약 가능하다면 가장 날카로운 경계는 무엇인가요?

주요 결과

• 모든 연결된 여부 그래프 $G$와 $\overline{G}$에 대해 합 $pc(G) + pc(\overline{G})$는 4 이상, $n$ 이하로 경계된다.
• 상한 $pc(G) + pc(\overline{G}) = n$은 $G$가 최대 차수 $n-2$인 트리일 때에만 성립한다.
• $n \geq 7$일 경우, $G$가 최대 차수 $n-2$인 트리가 아니면 $pc(G) + pc(\overline{G}) < n$이다.
• 만약 $G$가 $G - u$가 최소 세 개 이상의 컴포넌트를 가지는 컷 정점 $u$를 갖는다면, $pc(G) + pc(\overline{G}) < n$이다.
• 만약 $G$의 컷 정점 각각이 오직 하나의 펜던트 간선만을 갖는다면, $pc(G) \leq 3$이고 $pc(\overline{G}) \leq \max\{3, n-4\}$이며, 이에 따라 $n \geq 7$일 경우 $pc(G) + pc(\overline{G}) < n$이 되며, $n=6$일 경우에도 $< n$이 된다.
• 적절한 연결 수가 $n-2$인 그래프의 특성화는 날카로운 상한을 증명하고 극값 케이스를 규명하는 데 핵심적이다.