[논문 리뷰] Proper metrics on locally compact groups, and proper affine isometric actions on Banach spaces

Uffe Haagerup, Agata Przybyszewska|ArXiv.org|2006. 06. 30.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 13인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴act하고 두 번째 가산인 모든 군이 그 위상과 일致하는 적절한 왼쪽-불변 메트릭(플리그 메트릭)을 지닌다. 이 메트릭은 공의 성장률이 지수적으로 제어되며, 반사적이고 엄밀히 볼록한 바나흐 공간 $\bigoplus^\infty_{n=1} L^{2n}(G,\mu)$ 상에서의 적절한 아핀 등거리 작용을 가능하게 한다. 핵심 기여는 이러한 군들이 이 바나흐 공간으로의 균일 임bedding을 구성한 것으로, 기하군론을 통한 군의 거칠은 기하학과 노빅로프 추측 연구를 발전시킨다.

ABSTRACT

In this article it is proved, that every locally compact second countable group has a left invariant metric d, which generates the topology on G, and which is proper, ie. every closed d-bounded set in G is compact. Moreover, we obtain the following extension of a result due to N. Brown and E. Guentner: Every locally compact second countable $G$ admits a proper affine action on the reflexive and strictly convex Banach space $\bigoplus^{\infty}_{n=1} L^{2n}(G, dμ),$ where the direct sum is taken in the $l^2$-sense.

연구 동기 및 목표

• 모든 국소적으로 컴 pact하고 두 번째 가산인 군이 그 위상을 유도하는 적절한 왼쪽-불변 메트릭(플리그 메트릭)을 지닌다는 것을 증명하는 것.
• 브라운과 게인트너의 이산 군에 대한 결과를 일반적인 국소적으로 컴 pact하고 두 번째 가산 군으로 확장하기 위해 반사적이고 엄밀히 볼록한 바나흐 공간 상에서의 적절한 아핀 등거리 작용을 구성하는 것.
• 이러한 군들이 바나흐 공간 $\bigoplus^\infty_{n=1} L^{2n}(G,\mu)$로의 균일 임bedding을 지닌다는 것을 확립하는 것. 이는 거칠은 기하학과 노빅로프 추측에 필수적이다.
• 구축된 플리그 메트릭에서 $d$-공의 성장률이 지수적으로 제어된다는 것을 보여주는 것, 즉 $\mu(B_d(e,n)) \leq \beta \cdot e^{\alpha n}$ 이며, 상수 $\alpha, \beta$에 대해 성립한다.
• 기하학적 및 함수해석학적 도구를 사용하여 균일 임bedding과 거칠은 불변량에 대한 결과를 일반적인 국소적으로 컴 pact 군으로 확장하기 위한 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 닫힌 유계 집합이 컴 pact가 되도록 보장하는 국소적으로 컴 pact하고 두 번째 가산인 군 $G$ 상에서 왼쪽-불변 메트릭 $d$를 구성하는 것.
• 함수 $\phi_e^n(x) = \max\left(0, 1 - \frac{d(x,e)}{n}\right)$ 의 가족을 정의하여, 이는 유니폼 연속이며 컴 pact한 지지집합을 가진다.
• 함수 $\phi_e^n$ 을 사용하여 코사이클 $b^n(g) = \lambda(g)\phi_e^n - \phi_e^n$ 을 정의하고, 이는 $L^{2n}(G,\mu)$ 상의 정규 표현에 대해 1-코사이클을 이룬다.
• $l^2$-의미에서 바나흐 공간 $X = \bigoplus^\infty_{n=1} L^{2n}(G,\mu)$ 를 정의하여 반사성과 엄밀한 볼록성을 확보한다.
• 아핀 작용 $\alpha(g)\xi = \tilde{\lambda}(g)\xi + b(g)$ 를 구성하고, 여기서 $b(g) = \oplus b^n(g)$ 이며, 코사이클 조건 $b(st) = \tilde{\lambda}(s)b(t) + b(s)$ 를 검증한다.
• 헤어 측도의 공에서의 지수적 성장 제어를 사용하여, $d(g,e) \to \infty$ 일 때 $||b(g)||_X \to \infty$ 임을 보여, 작용의 메트릭 적절성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 국소적으로 컴 pact하고 두 번째 가산인 군이 그 위상을 유도하는 적절한 왼쪽-불변 메트릭을 지닌다.
• RQ2 이러한 군에 대해 반사적이고 엄밀히 볼록한 바나흐 공간 상에서 적절한 아핀 등거리 작용을 구성할 수 있는가.
• RQ3 이러한 군들이 형태 $\bigoplus^\infty_{n=1} L^{2n}(G,\mu)$ 의 바나흐 공간으로의 균일 임bedding을 지닌다.
• RQ4 이러한 임bedding을 구성할 때 $d$-공의 지수적 성장 제어의 역할은 무엇인가.
• RQ5 이러한 메트릭과 작용의 존재는 거칠은 불변량과 노빅로프 추측과 어떻게 관련이 있는가.

주요 결과

• 모든 국소적으로 컴 pact하고 두 번째 가산인 군은 그 위상을 유도하는 적절한 왼쪽-불변 메트릭(플리그 메트릭)을 지닌다.
• 구축된 플리그 메트릭은 어떤 $\alpha, \beta > 0$ 에 대해 $\mu(B_d(e,n)) \leq \beta \cdot e^{\alpha n}$ 를 만족하며, 헤어 측도의 공에서의 성장률이 지수적으로 제어됨을 보장한다.
• 반사적이고 엄밀히 볼록한 바나흐 공간 $X = \bigoplus^\infty_{n=1} L^{2n}(G,\mu)$ 에서 적절한 아핀 등거리 작용이 존재한다.
• 코사이클 구성에 의해 정의된 사상 $b: G \to X$ 는 균일 임bedding이며, 큰 $d(g,h)$ 에 대해 $c_1 \sqrt{d(g,h)} \leq ||b(g) - b(h)||_X \leq c_2 d(g,h)$ 를 만족한다.
• 작용은 메트릭적으로 적절한데, 이는 $d(g,e) \to \infty$ 일 때 $||b(g)||_X \to \infty$ 이며, 이는 큰 $n$ 과 $d(g,e)$ 에서 $\phi_e^n$ 과 $\phi_g^n$ 이 서로 이격된 지지집합을 가지기 때문이다.
• 구성은 브라운과 게인트너의 결과를 이산 군에서 모든 국소적으로 컴 pact하고 두 번째 가산 군으로 일반화하며, 분리 가능하고 엄밀히 볼록한 바나흐 공간으로의 균일 임bedding을 제공한다.