[논문 리뷰] Properties D and aD are different

Dániel T. Soukup|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 12.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $( atural^{*})$ 하에서 aD 성질이 D 성질을 함의하지 않음을 보이기 위해 일관된 반례를 구성한다. 이를 위해 크기가 $\omega_1$인 국소적으로 가산적이고 국소적으로 컴팩트하며 0차원적인 $T_2$ 공간을 만들었으며, 이 공간은 aD이지만 선형 D가 아니다. 구성은 추측 수열과 MAD 가족을 사용하여 모든 닫힌 부분공간이 기저가 되며(따라서 aD), 특정 단조 증가 열린 덮개에 대해 핵심 집합이 존재하지 않도록 보장한다(따라서 선형 D가 아님). 이는 아르angel’skii와 구오-쥔닐라의 오랫동안 남아있던 질문을 해결한다.

ABSTRACT

Under $(\diamondsuit^*)$ we construct a locally countable, locally compact, 0-dimensional $T_2$ space $X$ of size $\omg$ which is aD however not even linearly D. This consistently answers a question of Arhangel'skii, whether aD implies D. Furthermore we answer two problems concerning characterization of linearly D-spaces, raised by Guo and Junnila.

연구 동기 및 목표

• 아르angel’skii의 질문인 aD가 D를 함의하는가를 해결하기 위해 일관된 반례를 구성하는 것.
• 구오와 쥰닐라가 제기한 선형 D-공간의 특성화에 관한 두 문제에 대해 부정적인 답변을 제공하는 것.
• ZFC에서 aD에서 선형 D로의 함의가 증명될 수 없으며, 이러한 공간이 CH와 독립적으로 존재할 수 있음을 보여주는 것.
• 국소적으로 가산적이고 국소적으로 컴팩트하며 aD이지만 선형 D가 아닌 공간의 존재가 ZFC와 독립적임을 보여주는 것.

제안 방법

• 각 $(\alpha,1)$에서 집합 $M_{\alpha}^\beta$를 사용하여 $\{0\}$에서는 이산점과 특정 이웃 기저를 결합한 위상으로 $X = \omega_1 \times 2$ 공간을 구성하는 것.
• $\alpha < \omega_1$에 대해 $\omega_1$ 위의 최대 거의 disjoint(MAD) 가족 $\mathcal{M}_\alpha$를 사용하여 수렴 및 축적 행동을 정의하는 것.
• $(\natural^{*})$를 사용하여 클럽 집합과 정류 집합의 수열을 구성하여 열린 덮개의 행동을 제어하고 큰 닫힌离산 집합이 존재하지 않도록 보장하는 것.
• 모든 닫힌 부분공간이 기저임을 보여주기 위해 가산적 합집합의 닫힌 이산 집합이 D-공간임을 보이고, 비가산적 사영이 $X_{\alpha}$에서 완전한 축적을 유도함을 보이는 것.
• 비가산적 사영을 가진 닫힌 집합의 기저성을 보이기 위해 최소한의 개선을 통해 열린 덮개를 정교화하고, 정류 집합과 클럽 집합을 사용하여 커버리지를 제어하는 것.
• 마르틴의 공리 하에서 발그의 정리를 적용하여, 작은 국소적으로 가산적이고 국소적으로 컴팩트한 공간에서 D와 aD가 동치임을 보이고, 독립성 결과를 확립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 aD-공간이 D 성질을 만족하는가? (아르angel’skii의 문제 4.6)
• RQ2 $T_1$-공간 $X$에 대해, 모든 비가산 정규 기수의 부분집합 $A$가 완전한 축적점 또는 크기가 $|A|$인 닫힌 이산 부분집합을 가질 경우, $X$는 선형 D인가? (구오와 쥰닐라의 문제 2.5)
• RQ3 $T_1$-공간 $X$가 비가산 정규 기수 $A$에 대해, $A$가 완전한 축적점이거나 $\overline{A}$가 크기가 $|A|$인 닫힌 이산 부분집합을 포함하면, $X$는 선형 D인가? (구오와 쥰닐라의 문제 2.6)
• RQ4 ZFC에서 Tychonoff 공간 중 aD이지만 선형 D가 아닌 예가 존재하는가?
• RQ5 국소적으로 가산적이고 국소적으로 컴팩트하며 aD이지만 선형 D가 아닌 공간의 존재가 ZFC와 독립적인가?

주요 결과

• $(\natural^{*})$ 하에서 크기가 $\omega_1$인 국소적으로 가산적이고 국소적으로 컴팩트하며 0차원적인 $T_2$ 공간 $X$가 존재하며, 이는 aD이지만 선형 D가 아니다.
• $X = \omega_1 \times 2$에 정의된 위상으로 구성된 공간은 닫힌 이산 집합과 D-부분공간의 합집합이므로 D-공간이다.
• $\omega_1 \times \{0\}$의 비가산 부분집합 중 어떤 것도 $X$에서 닫힌 이산 부분집합을 가지지 않으며, 모든 부분집합이 축적점을 가지므로 $X$는 구오와 쥰닐라의 조건 $(*)$를 만족하지 않는다.
• $X$의 모든 닫힌 부분공간은 기저이므로, 정리 2.2에 의해 $X$는 aD이다. 따라서 aD가 D를 함의하지 않음을 확인한다.
• 모노톤 덮개 $\{X_{<\alpha} : \alpha < \omega_1\}$에 대해 $X$는 $\mathcal{U}$-크기가 큰 닫힌 이산 집합이 없으므로 선형 D가 아니다.
• 이러한 공간의 존재는 ZFC와 독립적이다. $(\natural^{*})$ 하에서의 일관성 결과와 $|X| < 2^{\omega}$인 이러한 공간의 존재가 ZFC에서 독립적임을 보여주었다.