[논문 리뷰] Properties of MT2 in the massless limit

Colin H. Lally, C. G. Lester|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 07.

Particle physics theoretical and experimental studies참고 문헌 1인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 모든 최종 상태 입자가 질량이 없을 때, 운동량 보존 조건에서 유도된 고차방정식의 닫힌형 해를 사용하여 질량이 없는 근사에서 $M_{T2}$를 안정적이고 해석적으로 계산하는 방법을 제시한다. 비록 반복적 방법보다 빠르지 않지만, 이 접근법은 누적된 횡방향 운동량 정보를 유지하면서도 $M_{CT}$보다 더 뛰어난 성능을 보이는 계산적으로 효율적인 근사값 $M_{T2}^{ ext{approx}}$를 드러낸다.

ABSTRACT

Although numerical methods are required to evaluate the stransverse mass, MT2, for general input momenta, non-numerical methods have been proposed for some special clases of input momenta. One special case, considered in this note, is the so-called `massless limit' in which all four daughter objects (comprising one invisible particle and one visible system from each `side' of the event) have zero mass. This note establishes that it is possible to construct a stable and accurate implementation for evaluating MT2 based on an analytic expression valid in that massless limit. Although this implementation is found to have no significant speed improvements over existing evaluation strategies, it leads to an unexpected by-product: namely a secondary variable, that is found to be very similar to MT2 for much of its input-space and yet is much faster to calculate. This is potentially of interest for hardware applications that require very fast estimation of a mass scale (or QCD background discriminant) based on a hypothesis of pair production -- as might be required by a high luminosity trigger for a search for pair production of new massive states undergoing few subsequent decays (eg di-squark or di-slepton production). This is an application to which the contransverse mass MCT has previously been well suited due to its simplicity and ease of evaluation. Though the new variable requires a quadratic root to be found, it (like MCT) does not require iteration to compute, and is found to perform better then MCT in circumstances in which the information from the missing transverse momentum (which the former retains and the latter discards) is both reliable and useful.

연구 동기 및 목표

• 모든 최종 상태 입자가 질량이 없을 때, $M_{T2}$를 반복하지 않고 해석적으로 계산할 수 있는 안정적인 방법을 개발하는 것.
• 이 근사에서 $M_{T2}$를 지배하는 고차방정식의 기하학적 및 대수적 성질을 이해하는 것, 특히 다수의 해 중에서 물리적 해를 선택하는 기준.
• 해석적 해에서 도출된 통찰이 고속 트리거 시스템에서 전체 $M_{T2}$ 평가의 더 빠르고 실용적인 대체 방법이 될 수 있는지 탐색하는 것.
• 신뢰할 수 있는 $ vec{E}_T$ 측정이 가능한 상황에서 새로운 근사값 $M_{T2}^{\text{approx}}$가 기존 변수 $M_{CT}$와 비교해 어떻게 성능을 발휘하는지 평가하는 것.

제안 방법

• 관측된 가시 운동량과 누적된 횡방향 운동량을 바탕으로 계수를 표현한 $s$에 대한 고차방정식을 유도하며, 그 근들이 가능한 $M_{T2}$ 값에 대응한다.
• 판별식에 따라 삼차방정식으로의 축소를 통해 오일러의 방법을 적용하여 삼차방정식을 삼각함수적 또는 대수적 해법으로 풀이한다.
• 고차방정식의 물리적 근을 도출하는 데 필요한 제곱근의 순서를 결정하기 위해 $-Y_{Nf'}/a$의 부호를 사용한다.
• 해석적 삼차방정식의 실근이 하나이고 허수 공액근이 두 개인 경우, 고차방정식의 네 근 중에서 실근은 두 개뿐이며, 이들은 허수 부분이 상쇄되는 대칭 조합에서 유래한다.
• 반복 최소화를 피하면서도 $ vec{E}_T$로부터의 주요 운동량 정보를 유지하는 단순화된 형태로 $M_{T2}^{\text{approx}}$를 구성한다.
• 복소수 산술에서 발생할 수 있는 수치 오차에 대비해 안정성과 정확도를 확보하기 위해 수치적 검증을 철저히 수행하여 수치적 안정성을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복잡한 고차방정식 근의 성질에도 불구하고, 질량이 없는 근사에서 반복하지 않고도 안정적인 해석적 해를 구성할 수 있는가?
• RQ2 고차방정식의 네 근 중에서 물리적 $M_{T2}$에 해당하는 근은 무엇이며, 이를 결정하는 기하학적 또는 대수적 기준은 무엇인가?
• RQ3 질량이 없는 근사에서 $M_{T2}$의 해석적 구조는 단순화된 빠른 근사로 이어질 수 있는가? 이 근사는 유용한 운동량 정보를 유지하는가?
• RQ4 신뢰할 수 있는 누적 횡방향 운동량이 존재할 경우, 새로운 근사값 $M_{T2}^{\text{approx}}$의 정확도와 속도가 $M_{CT}$와 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 어떤 운동량 영역에서 $M_{T2}^{\text{approx}}$가 $M_{CT}$보다 더 우수한 분류 성능를 보이며, 특히 트리거 수준 응용에서 유리한가?

주요 결과

• 오일러의 고차방정식 해법을 활용하여 질량이 없는 근사에서 $M_{T2}$를 반복하지 않고 안정적으로 계산하는 해석적 방법이 성공적으로 구현되었다.
• 물리적 $M_{T2}$는 $-Y_{Nf'}/a$의 부호를 통해 고차방정식의 근 중에서 올바른 제곱근 순서를 선택함으로써 결정되며, 이는 올바른 근의 순서를 식별한다.
• 해석적 삼차방정식의 실근이 하나이고 허수 공액근이 두 개인 경우, 고차방정식의 네 근 중에서 실근은 두 개뿐이며, 이들은 허수 부분이 상쇄되는 대칭 조합에서 유도된다.
• 근사값 $M_{T2}^{\text{approx}}$는 해석적 해법에서 유도되었으며 단일 제곱근 해법만을 요구하므로 반복적 $M_{T2}$ 계산보다 훨씬 빠르다.
• 반복하지 않는 방식이지만, 누적 횡방향 운동량이 신뢰할 수 있고 정보를 제공하는 영역에서는 $M_{CT}$보다 더 뛰어난 성능을 보인다.
• 입력 운동량 공간의 대부분에서 $M_{T2}^{\text{approx}}$는 $M_{T2}$와 매우 유사한 결과를 보이며, 트리거 시스템에서 빠른 대체 변수로 사용할 수 있음을 검증한다.