[논문 리뷰] Properties of quantum stochastic walks from the asymptotic scaling exponent

Krzysztof Domino, Adam Glos외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 04.

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한 줄 요약

이 논문은 양자 확률 보행의 혼합성 측도를 도입하며, 보행자의 위치 제곱 평균의 渐近적 스케일링 지수 α를 사용한다. 평균 제곱이동 μ₂(t) ∝ t^α 를 분석함으로써, 구속된 전역적 소산이 존재하는 상황에서도 궤도 운동 영역(α = 2)이 유지됨을 보여주며, 리드블라드 마스터 방정식에 의해 지배되는 조정 가능한 혼합성-소산 매개변수 ω를 가진 일반화된 양자-고전 하이브리드 모델에서 강력한 양자 혼합성이 존재함을 입증한다.

ABSTRACT

This work focuses on the study of quantum stochastic walks, which are a generalization of coherent, i. e. unitary quantum walks. Our main goal is to present a measure of a coherence of the walk. To this end, we utilize the asymptotic scaling exponent of the second moment of the walk i. e. of the mean squared distance covered by a walk. As the quantum stochastic walk model encompasses both classical random walks and quantum walks, we are interested how the continuous change from one regime to the other influences the asymptotic scaling exponent. Moreover this model allows for behavior which is not found in any of the previously mentioned model -- the model with global dissipation. We derive the probability distribution for the walker, and determine the asymptotic scaling exponent analytically, showing that ballistic regime of the walk is maintained even at large dissipation strength.

연구 동기 및 목표

• 두 번째 순간의 渐近적 스케일링 지수를 사용하여 양자 확률 보행에서 혼합성의 정량적 측도를 개발하는 것.
• 지속적인 전이가 양자 보행에서 고전적 랜덤 보행으로 이르는 과정에서 평균 제곱이동의 스케일링 행동이 어떻게 영향을 받는지 조사하는 것.
• 표준 양자 또는 고전 보행에서 실현 불가능한 전역적 소산이 보행의 장기적 역학에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 국소 및 전역적 소산 모델 하에서 확률 분포와 두 번째 순간에 대한 해석적 표현을 유도하는 것.
• 궤도 운동 영역(α = 2)이 높은 소산 강도에서도 유지됨을 보여주며, 지속적인 양자 혼합성이 있음을 입증하는 것.

제안 방법

• 연구는 리드블라드 마스터 방정식에 의해 지배되는 양자 확률 보행 모델을 사용하며, ω ∈ [0,1]인 조정 가능한 매개변수를 통해 단위적(ω=0)과 순수 소산적(ω=1) 동역학 사이를 보간한다.
• 시간 t에 따른 두 번째 순간 μ₂(t) = ⟨x²⟩ 를 계산하여 μ₂(t) ∝ t^α 를 통해 渐近적 스케일링 지수 α 를 추출한다.
• 선분 및 무한선에 대해, 푸리에 변환과 수직 다항식을 사용하여 대각선 밀도 행렬 원소 ⟨k|ρ(t)|k⟩ 의 정확한 해석적 표현을 유도한다.
• 중심 모멘트 μₘ(t) 는 확률 분포의 테일러 급수 전개를 통해 계산되며, 계수들은 운동량 공간 적분과 조합 항등식으로 유도된다.
• 생성 함수와 조합 항등식(예: 이항 합과 중심 모멘트 항등식)을 활용하여 고차 모멘트 표현을 단순화한다.
• 모멘트 전개의 주요 항을 분리하여, 특히 짝수 모멘트에 대해 渐近적 스케일링 지수를 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시스템이 매개변수 ω를 통해 양자적 행동에서 고전적 행동으로 전이될 때 두 번째 순간의 渐近적 스케일링 지수 α 는 어떻게 변화하는가?
• RQ2 단위적 양자 보행의 특징인 궤도 운동 스케일링(α = 2)은 강력한 전역적 소산 하에서도 유지되는가?
• RQ3 전역적 소산이 존재하는 선형 구조에서의 양자 확률 보행의 확률 분포의 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ4 전역적 소산 존재 하에서 고차 모멘트 μₘ(t) 는 시간에 따라 어떻게 스케일링되며, 이는 보행의 역학에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 전역 리드블라드 연산자 LS 는 국소 소산 영역을 초월하여 양자 혼합성을 유지하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 전역적 소산이 존재하는 상황에서도 渐近적 스케일링 지수 α 는 여전히 2(궤도 운동 영역)로 유지되며, 이는 전역적 소산이 양자 혼합성을 파괴하지 않음을 시사한다.
• 모든 ω ∈ [0,1] 에 대해 두 번째 순간 μ₂(t) 는 t² 로 스케일링되며, m번째 모멘트의 주요 계수는 (1−ω)^m 비례함을 보여주며, 이는 전역적 소산 하에서도 혼합성이 유지됨을 나타낸다.
• 짝수 모멘트의 경우, 모멘트 전개의 주요 항은 βₘ,ω t^m 로 표현되며, βₘ,ω = (1−ω)^m × (m choose m/2) 이다. 이는 μₘ(t) 가 t^m 스케일링을 따른다는 것을 확인한다.
• 선분에서의 확률 분포는 수직 함수와 푸리에 적분을 사용하여 정확히 유도되며, 이는 모멘트의 해석적 계산을 가능하게 한다.
• 전역 소산(LS)을 포함한 모델은 표준 고전 또는 양자 보행에서 실현 불가능한 역학을 생성하며, 환경 상호작용 하에서 새로운 양자 행동을 가능하게 한다.
• 분석 결과, 渐近적 스케일링 지수 α = 2 는 ω 전 범위에서 강인함을 확인하였으며, 이는 소산이 전역적일 경우 환경 결합에도 불구하고 혼합성이 파괴되지 않음을 입증한다.