[논문 리뷰] Properties of Tensor Complementarity Problem and Some Classes of Structured Tensors

Yisheng Song, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 29.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 29인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 비음수 텐서가 Q-텐서임과 동시에 그 주대각선 성분들이 모두 양수일 때이고, 비음수 텐서의 경우 Q-텐서, R-텐서, 엄격하게 준양성 텐서, R₀-텐서의 클래스가 동치임을 증명한다. 이 작업은 구조적 텐서와 그 보완 문제에 대한 기초적인 특성화를 제공하며, 특히 대각선 지배성과 양성 제약 조건을 통해 해의 존재성 및 유일성 조건을 명확히 한다.

ABSTRACT

This paper deals with the class of Q-tensors, that is, a Q-tensor is a real tensor $\mathcal{A}$ such that the tensor complementarity problem $(\q, \mathcal{A})$: $$\mbox{ finding } \x \in \mathbb{R}^n\mbox{ such that }\x \geq \0, \q + \mathcal{A}\x^{m-1} \geq \0, \mbox{ and }\x^ op (\q + \mathcal{A}\x^{m-1}) = 0, $$ has a solution for each vector $\q \in \mathbb{R}^n$. Several subclasses of Q-tensors are given: P-tensors, R-tensors, strictly semi-positive tensors and semi-positive R$_0$-tensors. We prove that a nonnegative tensor is a Q-tensor if and only if all of its principal diagonal entries are positive, and so the equivalence of Q-tensor, R-tensors, strictly semi-positive tensors is showed if they are nonnegative tensors. We also show that a tensor is a R$_0$-tensor if and only if the tensor complementarity problem $(\0, \mathcal{A})$ has no non-zero vector solution, and a tensor is a R-tensor if and only if it is a R$_0$-tensor and the tensor complementarity problem $(\e, \mathcal{A})$ has no non-zero vector solution, where $\e=(1,1\cdots,1)^ op$.

연구 동기 및 목표

• Q-텐서를 특성화하고, P-텐서, R-텐서, 엄격하게 준양성 텐서와 같은 구조적 텐서 클래스와의 관계를 규명하는 것.
• 비음수 텐서가 Q-텐서가 되기 위한 필요 및 충분 조건을 규명하며, 대각선 지배성에 중점을 두는 것.
• 텐서 보완 문제(TCP)와 R₀-텐서 사이의 관계를 명확히 하며, 특히 오른쪽 항이 0 또는 모두 1인 벡터일 경우를 다루는 것.
• 비음수 제약 조건 하에서 구조적 텐서 클래스의 동치성에 대해 연구하며, 특히 대칭성과 비음수 성격에서의 적용을 중심으로 하는 것.

제안 방법

• 텐서 보완 문제(TCP) $({\bf q}, \mathcal{A})$를 정의하고 분석함: $\mathbf{x} \geq \mathbf{0}$, $\mathbf{q} + \mathcal{A} \mathbf{x}^{m-1} \geq \mathbf{0}$, $\mathbf{x}^\top (\mathbf{q} + \mathcal{A} \mathbf{x}^{m-1}) = 0$.
• 엄격하게 준양성 텐서의 정의를 활용하여, 비음수 텐서가 엄격하게 준양성임과 동시에 모든 대각선 성분이 양수임을 보임.
• 모순에 기반한 증명을 통해 비음수 Q-텐서는 모든 대각선 성분이 양수여야 함을 증명함.
• 텐서가 R₀-텐서임과 동시에 TCP$({\bf 0}, \mathcal{A})$가 비영해를 갖지 않는 것이 동치임을 증명함.
• 텐서가 R-텐서임과 동시에 R₀-텐서이면서 TCP$({\bf e}, \mathcal{A})$가 비영해를 갖지 않는 것이 동치임을 증명함. 여기서 $\mathbf{e} = (1,\dots,1)^\top$.
• Song과 Qi(2015)의 공복성 및 준양성에 관한 기존 결과를 활용하여 대칭성과 비음수 조건 하에서 텐서 클래스 간의 동치성을 유도함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음수 텐서가 Q-텐서가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 R₀-텐서와 TCP$({\bf 0}, \mathcal{A})$의 해 존재성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 비음수 텐서 설정에서 Q-텐서, R-텐서, 엄격하게 준양성 텐서, R₀-텐서의 클래스는 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 대칭 Q-텐서의 고유값과 TCP$({\bf q}, \mathcal{A})$의 해 사이에 연결 고리가 존재하는가?
• RQ5 준양성 Q-텐서는 최소 두 개의 비영성분을 갖는 비영해를 가질 수 있는가?

주요 결과

• 비음수 텐서 $\mathcal{A}$는 모든 주대각선 성분 $a_{ii\cdots i}$가 양수일 때이고, 그 때에만 Q-텐서이다.
• 비음수 텐서의 경우, Q-텐서, R-텐서, 엄격하게 준양성 텐서, R₀-텐서의 클래스는 상호 동치이다.
• 텐서가 R₀-텐서임과 동시에 TCP$({\bf 0}, \mathcal{A})$가 비영해를 갖지 않는 것이 동치이다.
• 텐서가 R-텐서임과 동시에 R₀-텐서이면서 TCP$({\bf e}, \mathcal{A})$가 비영해를 갖지 않는 것이 동치이다.
• 비음수 텐서의 경우, $\mathbf{q} \geq \mathbf{0}$일 때 TCP$({\bf q}, \mathcal{A})$의 유일한 타당해는 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$이다.
• 대칭적이고 비음수인 텐서의 경우, Q-텐서, R-텐서, 엄격하게 준양성 텐서, 엄격하게 공복성 텐서, 양수 대각선 성분 간의 동치성 관계가 성립한다.