[논문 리뷰] Properties of the Class of Measure Separable Compact Spaces

Mirna Džamonja, Kenneth Kunen|arXiv (Cornell University)|1994. 08. 09.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 10인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 모든 정규 Borel 측도가 분리 가능성을 갖는 컴팩트 공간의 클래스 $MS$를 조사하며, 순서형 및 산산이 흩어진 공간이 $MS$에 속함을 증명하고, $ccc$ 포스팅을 통해 $MS$에 속하는 것이 파괴될 수 있음을 보여준다. 특히, Suslin 트리로 포스팅하면, 초기에는 $MS$에 속해 있던 공간에 비분리 라돈 측도가 추가될 수 있으며, 비속성은 $\omega_1$를 붕괴시키지 않는 확장에서도 유지된다.

ABSTRACT

We investigate properties of the class of compact spaces on which every regular Borel measure is separable. This class will be referred to as MS. We discuss some closure properties of MS, and show that some simply defined compact spaces, such as compact ordered spaces or compact scattered spaces, are in MS. Most of the basic theory for regular measures is true just in ZFC. On the other hand, the existence of a compact ordered scattered space which carries a non-separable (non-regular) Borel measure is equivalent to the existence of a real-valued measurable cardinal less or equal to c. We show that not being in MS is preserved by all forcing extensions which do not collapse omega_1, while being in MS can be destroyed even by a ccc forcing.

연구 동기 및 목표

• 모든 정규 Borel 측도가 분리 가능한 컴팩트 공간의 클래스 $MS$를 특성화하기.
• 위상적 구성과 포스팅 확장에서 $MS$의 닫힘 성질을 조사하기.
• 비분리 측도가 존재하는 컴팩트 순서형 산산이 흩어진 공간에 대한 집합론적 독립성 조사하기.
• 특히 $ccc$ 포스팅과 Suslin 트리로 포스팅할 때 $MS$의 행동을 규명하기.
• $MS$에 속하는지 여부가 $ccc$ 포스팅에 의해 유지되지 않음을 보여주기.

제안 방법

• 모든 라돈(즉, 정규 Borel) 측도가 분리 가능한 컴팩트 하우스도르프 공간의 집합으로서 $MS$를 정의하기.
• 마하라모의 정리를 사용하여 비분리 측도를 양측도가 없는 부분집합 위에 지지된 측도로 환원하기.
• 아론자인 트리 $T$의 체인에서 $X$를 코르손 컴팩트 공간으로 구성하기, $2^{T \times 2}$로의 사영을 사용하여.
• 기본 모델에서 $X \in MS$임을 증명하기 위해, 양의 측도를 갖는 노드의 집합이 가산임을 보여, $X$에서 영 측도 집합을 뺀 나머지가 제2가산이므로 측도 분리 가능함을 보이기.
• Suslin 트리 $T$로 포스팅하여, 일반 확장에서 $\Phi(X)$가 $2^{\omega_1}$의 사영을 포함함을 보여, $\Phi(X) \notin MS$임을 유도하기.
• 모델에서 $J$가 비가산일 때 $2^J$ 위의 곱 측도가 비분리임을 이용하여, 포스팅 이후 $MS$에 속하지 않음을 보이기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서형 또는 산산이 흩어진 공간과 같은 위상적 클래스 중 $MS$에 속하는 것은 무엇인가?
• RQ2 특히 $ccc$ 포스팅일 경우, $MS$에 속하는 성질이 포스팅 확장에서 어떻게 유지되거나 파괴되는가?
• RQ3 비분리 Borel 측도를 지닌 컴팩트 순서형 산산이 흩어진 공간이 존재하기 위해 필요한 집합론적 강도는 무엇인가?
• RQ4 $MS$에 속하는 공간이 기본 모델에서 $ccc$ 포스팅 확장 후에 비-$MS$가 될 수 있는가?
• RQ5 Suslin 트리의 구조가 $MS$에 처음 속해 있던 공간의 일반 확장에서 비분리 측도를 구성하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 컴팩트 순서형 공간과 컴팩트 산산이 흩어진 공간은 모든 정규 Borel 측도가 분리 가능하므로 $MS$에 속한다.
• 컴팩트 순서형 산산이 흩어진 공간에 비분리 Borel 측도가 존재하는 것과 실수값을 갖는 측도 가능 기수 $\leq c$의 존재는 동치이다.
• 비-$MS$에 속하는 것은 $\omega_1$를 붕괴시키지 않는 모든 포스팅 확장에서도 유지된다.
• $MS$에 속하는 것은 $ccc$ 포스팅에 의해 유지되지 않는다: Suslin 트리로 포스팅하면 $MS$에 속하는 것이 파괴될 수 있다.
• Suslin 트리로 포스팅하면, $MS$에 속한 코르손 컴팩트 공간 $X$에 대해 $\Phi(X)$가 $2^{\omega_1}$의 위상 동형 사영을 포함하게 되며, 이는 확장에서 $\Phi(X) \notin MS$임을 의미한다.
• 기본 모델에서 $X$는 양의 측도를 갖는 노드의 집합이 가산이므로, $X$에서 영 측도 집합을 뺀 나머지가 제2가산이 되고, 따라서 측도 분리 가능하다.