[논문 리뷰] Properties of the residual circle action on a toric hyperkahler variety

Megumi Harada, Nicholas Proudfoot|ArXiv.org|2002. 07. 01.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{H}^n$ 의 하이퍼카일러 감소를 통해 유래하는 하이퍼토릭 하이퍼카일러 다양체에서의 해밀토니안 $S^1$-작용을 연구하며, 이 작용이 정의하는 초평면 배열의 공방향성과 애핀 구조 데이터를 모두 포함하고 있음을 보여준다. 주요 기여는 복소화된 배열의 여집합에 대한 $\mathbb{Z}_2$-동차 코homology 를 통해 오르릭-솔로몬 대수의 변형을 제공하는 것으로, 이는 $S^1$-작용과 실부위 위상구조를 이용해 명시적으로 계산된다.

ABSTRACT

We consider a manifold X obtained by a Kahler reduction of C^n, and we define its hyperkahler analogue M as a hyperkahler reduction of T^*C^n = H^n by the same group. In the case where the group is abelian and X is a smooth toric variety, M is a toric hyperkahler manifold, as defined by Bielawski-Dancer, and further studied by Konno and Hausel-Sturmfels. The manifold M carries a natural action of S^1, induced by the scalar action of S^1 on the fibers of T^*C^n. In this paper we study this action, computing its fixed points and its equivariant cohomology. As an application, we use the associated Z/2 action on the real locus of M to compute a deformation of the Orlik-Solomon algebra of a smooth, generic, real hyperplane arrangement, depending nontrivially on the affine structure of the arrangement. This deformation is given by the Z/2-equivariant cohomology of the complement of the complexification, where Z/2 acts by complex conjugation.

연구 동기 및 목표

• 하이퍼카일러 감소를 통해 $\mathbb{H}^n$ 에서 부분토루 $T^k$ 를 통해 구성된 하이퍼토릭 하이퍼카일러 다양체에서의 $S^1$-작용을 이해하는 것.
• 이 $S^1$-작용이 정의하는 초평면 배열 $\mathcal{H}$ 의 공방향성과 애핀 구조 정보를 유지하고 있음을 보여주는 것. 이는 카일러 몫 구성에서 상실되는 정보이다.
• 정의하는 초평면 배열 $\mathcal{H}$ 의 전체 조합론적 자료(포함 애핀 구조 포함)를 사용하여 하이퍼토릭 다양체 $M$ 의 $S^1$-동차 코homology 를 계산하는 것.
• 실부위 $M_\mathbb{R}$ 의 위상구조를 $\mathcal{M}(\mathcal{H})$ 의 $\mathbb{Z}_2$-동차 코homology 와 연결하여, 오르릭-솔로몬 대수의 변형을 이끌어내는 것.

제안 방법

• 초평면 배열 $\mathcal{H}$ 의 애핀 구조를 포함하는 $\alpha$ 를 이용해 하이퍼토릭 다양체 $M$ 을 하이퍼카일러 몫 $\mathbb{H}^n //_{(\alpha,0)} T^k$ 로 구성한다.
• cotangent fiber 의 스칼라 곱승에서 유도된 $T^*\mathbb{C}^n \cong \mathbb{H}^n$ 에서의 $S^1$-작용을 연구하며, 고정점과 모멘트 맵을 분석한다.
• 고정점 집합의 변형수축인 코어 $C \subset M$ 을 사용하여, $S^1$-작용을 프로젝티브 부분다양체들의 합집합 위에서 명시적으로 묘사한다.
• $S^1$-동차 코homology $H^*_{S^1}(M)$ 와 $T^d \times S^1$-동차 코homology 를 $\mathcal{H}$ 의 조합론적 자료(초평면 간의 교차 조건 포함)를 이용해 계산한다.
• 복소수 켤리의 고정점 집합인 실부위 $M_\mathbb{R} \subset M$ 을 분석하여, $H^*_{\mathbb{Z}_2}(\mathcal{M}(\mathcal{H}); \mathbb{Z}_2)$ 와 연결한다.
• $H^*_{\mathbb{Z}_2}(\mathcal{M}(\mathcal{H}); \mathbb{Z}_2)$ 의 명시적 표현을 $\mathbb{Z}_2[u_1,\dots,u_n,x]$ 의 몫으로 제시하며, 이 관계는 $\mathcal{H}$ 의 애핀 구조를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하이퍼토릭 하이퍼카일러 다양체 $M$ 에서의 $S^1$-작용은 정의하는 초평면 배열 $\mathcal{H}$ 의 공방향성과 애핀 구조 정보를 어떻게 포함하는가?
• RQ2 표현된 $S^1$-동차 코homology 링 $H^*_{S^1}(M)$ 의 구조는 무엇이며, $\mathcal{H}$ 의 전체 조합론적 자료에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 실부위 $M_\mathbb{R}$ 를 통해 $\mathcal{M}(\mathcal{H})$ 의 $\mathbb{Z}_2$-동차 코homology 가 계산될 수 있는가? 그리고 이는 배열에 대해 무엇을 드러내는가?
• RQ4 $H^*_{\mathbb{Z}_2}(\mathcal{M}(\mathcal{H}); \mathbb{Z}_2)$ 는 $\mathcal{OS} \otimes \mathbb{Z}_2$ 의 $\operatorname{\mathbb{Z}_2}[x]$ 위에서의 변형이며, 이는 $\mathcal{H}$ 의 애핀 구조에 비트리비얼하게 의존하는가?
• RQ5 조합론적으로 동일한 배열들 중에서 $\mathbb{Z}_2$-동차 코homology 링이 서로 동형이 아닌 경우가 존재하는가? 이는 링이 조합론적 불변량이 아님을 보여주는가?

주요 결과

• 하이퍼토릭 다양체 $M$ 에서의 $S^1$-작용은 공방향성과 초평면 배열 $\mathcal{H}$ 의 애핀 구조에 민감하며, 동차 코homology 수준에서도 그러한 정보를 유지한다.
• $S^1$-동차 코homology 는 명시적으로 $H^*_{S^1}(M) \cong \mathbb{Z}[u_1,\dots,u_n,x] / \langle \Pi_{i\in S_1} u_i \cdot \Pi_{j\in S_2} (x - u_j) \mid \bigcap_{i\in S} H_i = \emptyset \rangle$ 로 계산되며, 이 관계는 애핀 구조에 의존한다.
• $\mathbb{Z}_2$-동차 코homology 는 $H^*_{T_\mathbb{R}^d \times \mathbb{Z}_2}(M_\mathbb{R}; \mathbb{Z}_2) / \ker \phi_2$ 와 동형이며, $\ker \phi_2$ 는 $u_i(x - u_i)$ 와 교차 관계로 생성된다.
• $H^*_{\mathbb{Z}_2}(\mathcal{M}(\mathcal{H}; \mathbb{Z}_2)$ 는 $\mathcal{OS} \otimes \mathbb{Z}_2$ 의 $\operatorname{\mathbb{Z}_2}[x]$ 위에서의 변형이며, 이는 $\mathcal{H}$ 의 애핀 구조에 비트리비얼하게 의존한다. 이는 기초 매트로이드만이 아니라 애핀 구조에 의존한다.
• $\mathcal{H}_a'$ 와 $\mathcal{H}_c'$ 는 애핀 구조만 다를 뿐 조합론적으로 동일한 경우, $\mathbb{Z}_2$-동차 코homology 링은 서로 동형이 아니며, 이는 $H^*_{\mathbb{Z}_2}(\mathcal{M}(\mathcal{H}_a'); \mathbb{Z}_2)$ 에서 $u_2$ 의 소멸자 집합이 두 개의 선형 원소로 생성되는 데 반해, $H^*_{\mathbb{Z}_2}(\mathcal{M}(\mathcal{H}_c'); \mathbb{Z}_2)$ 에서는 그러한 원소가 존재하지 않기 때문이다.
• $H^*_{\mathbb{Z}_2}(\mathcal{M}(\mathcal{H}; \mathbb{Z}_2)$ 의 표현은 $\mathbb{Z}_2[u_1,\dots,u_n,x] / \langle \text{교차 관계} \rangle + \langle u_i(x - u_i) \rangle$ 로 주어지며, 이는 명시적으로 애핀 자료에 의존함을 보여준다.