[논문 리뷰] Property (T) for groups graded by root systems

Mikhail Ershov, Andrei Jaikin‐Zapirain외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 31.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 16인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성 가환환 위에서 랭크 ≥ 2인 축소되고 기약적인 고전적 루트 시스템과 관련된 스텐버그 군과 기초 체바렐리 군이 카즈한의 성질 (T)을 갖는다고 확립한다. 저자들은 루트 시스템에 의해 분할된 군을 도입하고, 비퇴화 조건 하에서 루트 부분군들의 합집합이 카즈한 부분집합을 이룬다는 것을 증명하며, 이는 스펙트럴 기준과 군의 확장에 의해 전체 군에 대한 상대 성질 (T)과 궁극적으로 성질 (T)을 이끌어낸다.

ABSTRACT

We introduce and study the class of groups graded by root systems. We prove that if Φ is an irreducible classical root system of rank at least 2 and G is a group graded by Φ, then under certain natural conditions on the grading, the union of the root subgroups is a Kazhdan subset of G. As the main application of this theorem we prove that for any reduced irreducible classical root system Φ of rank at least 2 and a finitely generated commutative ring R with 1, the Steinberg group St_Φ(R) and the elementary Chevalley group E_Φ(R) have property (T). We also show that there exists a group with property (T) which maps onto all finite simple groups of Lie type and rank at least 2, thereby providing a "unified" proof of expansion in these groups.

연구 동기 및 목표

• 랭크 ≥ 2인 고전적 루트 시스템과 관련된 스텐버그 군과 기초 체바렐리 군에 대해 카즈한의 성질 (T)을 확립하는 것.
• 루트 시스템에 의해 분할된 군에 대한 일반적 프레임워크를 개발하고, 그 구조적 및 표현 이론적 성질을 분석하는 것.
• 비퇴화 조건 하에서 이러한 군에서 루트 부분군들의 합집합이 카즈한 부분집합을 이룬다는 것을 증명하는 것.
• 모든 단순 리 유형 군과 랭크 ≥ 2를 갖는 유한 단순 군들에 대한 스urjection을 갖는 성질 (T)를 갖는 '어머니 군'을 구성하여 확장 성질을 통합하는 것.
• 코디스턴스 추정과 힐버트-슈미트 노름을 사용하여 스펙트럴 기준을 노름군과 보렐 부분군으로 확장하여 상대 성질 (T)를 유도하는 것.

제안 방법

• 루트 시스템에 의해 분할된 군의 개념을 도입하여, 체바렐리 군과 스텐버그 군을 일반화하고, 각 루트에 대응하는 루트 부분군을 정의하는 것.
• 웨일 군과 루트 시스템에 관련된 그래프의 라플라시안을 기반으로 한 스펙트럴 기준을 사용하여 상대 성질 (T)를 분석하는 것.
• 힐베르트-슈미트 노름과 군 작용을 사용하여 노름군과 보렐 부분군에서의 코디스턴스와 수직성 상수를 추정하는 것.
• 스펙트럴 기준을 사용하여 군의 확장과 반직접곱, 특히 스텐버그 군과 아벨 모듈러에 대한 상대 성질 (T) 기법을 적용하는 것.
• 비가환환 위에서의 표본과 분할 자동형사를 사용하여 $^2D_n$, $^2F_4$, 및 $^2,^2A_{2n-1}$ 유형의 트위스트된 군을 구성하는 것.
• 루트 시스템의 축소와 양호한 축소를 사용하여 유한 랭크에서 무한 랭크의 경우로 결과를 확장하고, 궁극적으로 성질 (T)를 갖는 보편적인 어머니 군을 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 루트 시스템 분할에 대해 루트 부분군들의 합집합이 군 내에서 카즈한 부분집합을 이룰 수 있는가?
• RQ2 루트 시스템 $\Phi$가 축소되고 기약적인 고전적 루트 시스템이며, $R$이 유한 생성 가환환일 때, 스텐버그 군 $\operatorname{St}_\Phi(R)$와 기초 체바렐리 군 $\mathbb{E}_\Phi(R)$에 대해 성질 (T)를 확립할 수 있는가?
• RQ3 모든 유한 단순 리 유형 군과 랭크 ≥ 2를 갖는 군들에 대한 스르젝션을 갖는 성질 (T)를 갖는 단일 군이 존재하는가?
• RQ4 노름군과 보렐 부분군에서의 스펙트럴 기준과 코디스턴스 추정을 어떻게 사용하여 군의 확장에 대해 상대 성질 (T)를 도출할 수 있는가?
• RQ5 분할 자동형사와 트위스트된 군 구성이 성질 (T)를 비고전적 또는 유니타리 유형 군으로 확장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 모든 축소되고 기약적인 고전적 루트 시스템 $\Phi$에 대해 랭크 ≥ 2이고, 유한 생성 가환환 $R$에 대해 스텐버그 군 $\operatorname{St}_\Phi(R)$와 기초 체바렐리 군 $\mathbb{E}_\Phi(R)$는 카즈한의 성질 (T)를 갖는다.
• 루트 시스템 $\Phi$에 의해 분할된 군 $G$에서 비퇴화 조건 하에서 루트 부분군들의 합집합 $\bigcup_{\alpha \in \Phi} X_\alpha$는 $G$의 카즈한 부분집합을 이룬다.
• 모든 유한 단순 리 유형 군과 랭크 ≥ 2를 갖는 군들에 대한 스르젝션을 갖는 성질 (T)를 갖는 '어머니 군'이 존재하며, 이는 이러한 군들에서의 확장 성질에 대한 통합적 증명을 제공한다.
• 반직접곱 $\Gamma = (\operatorname{St}_p(R) \times \operatorname{St}_q(R)) \ltimes N^{pq}$에서 쌍 $(\Gamma, N^{pq})$에 대한 상대 카즈한 상수는 $\kappa_r(\Gamma, N^{pq}; F) > \frac{1}{2K(k,d,p,q)}$를 만족하며, 여기서 $K(k,d,p,q) = 50(\sqrt{k} + \sqrt{d} + \sqrt{p} + \sqrt{q})$이다.
• 이 증명은 웨일 그래프의 라플라시안을 포함한 스펙트럴 기준과 힐베르트-슈미트 노름을 사용한 노름군 및 보렐 부분군에서의 코디스턴스 추정에 기반한다.
• 비가환환 위에서 표본과 표본 자동형사를 갖는 $^2D_n$, $^2F_4$, 및 $^2,^2A_{2n-1}$ 유형의 트위스트된 군 역시 상대 성질 (T)를 갖는다. 이는 기존의 가환환에 국한되지 않는 프레임워크로의 확장을 가능하게 한다.