[논문 리뷰] Propositional Logics Complexity and the Sub-Formula Property

Edward Hermann Hæusler|2014. 01. 31.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 15인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 자연연역 체계에서 부분공식 성질을 만족하는 모든 명제론적(모달일 수 있음) 구조적 논리가 PSPACE에 속함을 입증한다; 만약 그 논리가 최소 논리의 순수 함의 조각($\mathbf{M}_{\rightarrow}$)을 포함한다면 PSPACE-완전하다. 핵심 기여는 부분공식 원리와 계산 복잡도 한계를 연결하는 증명 이론적 방법을 제시한 것으로, 스태트먼의 결과를 확장하여 유한 다가값 논리의 타진 집합도 PSPACE에 속한다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

In 1979 Richard Statman proved, using proof-theory, that the purely implicational fragment of Intuitionistic Logic (M-imply) is PSPACE-complete. He showed a polynomially bounded translation from full Intuitionistic Propositional Logic into its implicational fragment. By the PSPACE-completeness of S4, proved by Ladner, and the Goedel translation from S4 into Intuitionistic Logic, the PSPACE- completeness of M-imply is drawn. The sub-formula principle for a deductive system for a logic L states that whenever F1,...,Fk proves A, there is a proof in which each formula occurrence is either a sub-formula of A or of some of Fi. In this work we extend Statman result and show that any propositional (possibly modal) structural logic satisfying a particular formulation of the sub-formula principle is in PSPACE. If the logic includes the minimal purely implicational logic then it is PSPACE-complete. As a consequence, EXPTIME-complete propositional logics, such as PDL and the common-knowledge epistemic logic with at least 2 agents satisfy this particular sub-formula principle, if and only if, PSPACE=EXPTIME. We also show how our technique can be used to prove that any finitely many-valued logic has the set of its tautologies in PSPACE.

연구 동기 및 목표

• 부분공식 성질에 기반하여 명제 논리의 PSPACE 소속성을 일반적인 증명 이론적 기준으로 설정하기.
• intuitionistic 논리의 함의 조각에 대한 스태트먼의 PSPACE-완전성 결과를 더 넓은 범위의 구조적 논리로 확장하기.
• 모든 유한 다가값 논리가 부분공식 이론적 기법을 사용하여 타진 집합이 PSPACE에 속한다는 것을 보여주기.
• PDL과 두 명 이상의 에이전트를 가진 공지 지식 지식 논리와 같은 EXPTIME-완전 논리가 부분공식 원리를 만족할 조건을 조사하여 PSPACE 대비 EXPTIME 문제와 연결하기.
• 이 방법이 모달 및 지식 논리에서 사용되는 레이블이 붙은 자연연역 체계와 일阶 논리의 조각에 적용 가능한지 탐색하기.

제안 방법

• 임의의 논리 상수를 이러한 규칙에 의해 정의할 수 있는 일반적 스키마를 자연연역의 도입 및 제거 규칙에 대해 형식화하기.
• 부분공식 원리를 유도의 제약 조건으로 정의: 증명 내의 모든 공식 발생은 결론이나 전제의 부분공식이어야 한다.
• 부분공식만을 포함하는 유도에 대해 다항식 공간으로 제한된 탐색을 수행하며, 부분공식 원리를 활용해 탐색 공간을 제한하기.
• 이 기법을 사용하여 부분공식 원리를 만족하는 어떤 논리의 타당성 문제도 PSPACE에 속한다는 것을 보여주기.
• 논리가 $\mathbf{M}_{\rightarrow}$를 포함한다면, 기존의 알려진 PSPACE-완전 문제로의 환원을 통해 타당성 문제가 PSPACE-완전하다는 것을 입증하기.
• 모든 평가에 대해 공간 재사용을 통해 다항식 공간에서 진리 평가를 수행할 수 있음을 보여주어, 이 기법을 유한 다가값 논리로 확장하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 명제 논리의 자연연역 체계에서 타당성 문제가 PSPACE에 속하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 완전한 조화가 없더라도 도입 및 제거 규칙 간의 부분공식 원리만으로도 논리의 PSPACE 소속을 보장할 수 있는가?
• RQ3 $\mathbf{M}_{\rightarrow}$의 PSPACE-완전성이 그보다 확장된 논리의 PSPACE-완전성으로 이어질 수 있는가?
• RQ4 PDL과 두 명 이상의 에이전트를 가진 공지 지식 지식 논리와 같은 EXPTIME-완전 논리에서 부분공식 원리와 복잡도 클래스 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 이 증명 이론적 방법이 모달 및 지식 논리에서 사용되는 레이블이 붙은 자연연역 체계로 확장 가능한가?

주요 결과

• 자연연역 체계에서 부분공식 원리를 만족하는 모든 명제 논리는 타당성 문제가 PSPACE에 속한다.
• 논리가 최소 논리의 순수 함의 조각($\mathbf{M}_{\rightarrow}$)을 포함한다면, 그 타당성 문제는 PSPACE-완전하다.
• 모든 유한 다가값 논리의 타당성 문제도 PSPACE에 속한다. 진리 평가가 다항식 공간에서 수행 가능하고 공간 재사용이 가능하기 때문이다.
• PDL과 두 명 이상의 에이전트를 가진 공지 지식 지식 논리와 같은 EXPTIME-완전 논리는 부분공식 원리를 만족하는 것과 PSPACE = EXPTIME이 동시에 성립하는 것과 동치이다.
• 이 방법은 역전 원리나 도입 및 제거 규칙 간의 완전한 조화가 필요 없으며, 오직 부분공식 원리와 일반적인 규칙 스키마에 의존한다.