[논문 리뷰] Props of ribbon graphs, involutive Lie bialgebras and moduli spaces of curves

Sergei Merkulov, Thomas Willwacher|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 24.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 간선, 정점, 경계 성분이 레이블링된 방향성 있는 리본 그래프의 계수 벡터 공간인 prop ℛ𝐺𝑟𝑎_d를 소개한다. 이 구조는 정수 d에 따라 달라지는 𝕊_l × (ℤ/2ℤ)^l의 표현을 지닌다. 이는 대수적 구조와 초입자적 리 병형대수 사이의 연결고리로 작용하며, ℛ𝐺𝑟𝑎_d가 이러한 대수에 대한 보편적 프레임워크를 제공하고, 그래프 복합체를 통해 곡선의 모듈리 공간을 해소함을 보여준다.

ABSTRACT

We establish a new and surprisingly strong link between two previously unrelated theories: the theory of moduli spaces of curves ${\mathcal M}_{g,n}$ (which, according to Penner, is controlled by the ribbon graph complex) and the homotopy theory of $E_d$ operads (controlled by ordinary graph complexes with no ribbon structure, introduced first by Kontsevich). The link between the two goes through a new intermediate {\em stable}\, ribbon graph complex which has roots in the deformation theory of quantum $A_\infty$ algebras and the theory of Kontsevich compactifications of moduli spaces of curves $\overline{\mathcal M}_{g,n}^K$. Using a new prop of ribbon graphs and the fact that it contains the prop of involutive Lie bialgebras as a subprop we find new algebraic structures on the classical ribbon graph complex computing $H^\bullet(\mathcal M_{g,n})$. We use them to prove Comparison Theorems, and in particular to construct a non-trivial map from the ordinary to the ribbon graph cohomology. On the technical side, we construct a functor $\mathcal O$ from the category of prop(erad)s to the category of operads. If a properad $\mathcal P$ is in addition equipped with a map from the properad governing Lie bialgebras (or graded versions thereof), then we define a notion of $\mathcal P$-``graph'' complex, of stable $\mathcal P$-graph complex and a certain operad, that is in good cases an $E_d$ operad. In the ribbon case, this latter operad acts on the deformation complexes of any quantum $A_\infty$-algebra. We also prove that there is a highly non-trivial, in general, action of the Grothendieck-Teichmüller group $GRT_1$ on the space of so-called {\em non-commutative Poisson structures}\, on any vector space $W$ equipped with a degree $-1$ symplectic form (which interpolate between cyclic $A_\infty$ structures in $W$ and ordinary polynomial Poisson structures on $W$ as an affine space).

연구 동기 및 목표

• 방향성 있는 리본 그래프에 간선, 정점, 경계 성분의 레이블링을 포함하는 새로운 대수적 구조인 prop ℛ𝐺𝑟𝑎_d를 정의한다.
• 𝕊_l × (ℤ/2ℤ)^l을 통한 그래프에 대한 군 작용을 구성하며, 이는 d에 따라 달라지는 부호 표현을 포함한다.
• ℛ𝐺𝑟𝑎_d와 관련된 그래프 복합체를 이용해 초입자적 리 병형대수의 보편적 해소를 수립한다.
• 이 그래프 복합체의 호모로지가 모듈리 공간의 코homology와 연결됨을 보인다.
• 그래프 이론적 및 대수적 수단을 통해 모듈리 공간의 델리네-무드포드 컴팩티피케이션을 이해하는 데 기여하는 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 간선, 정점, 경계 레이블링이 있는 방향성 있는 리본 그래프의 동형류 집합 𝒪_{m,n}^l을 정의한다.
• 간선 순열과 간선 방향 전환을 통해 작용하는 군 P_l = 𝕊_l × (ℤ/2ℤ)^l을 도입한다.
• d의 짝수성에 따라 부호를 할당하는 P_l의 표현 sgn_l^{(d)}를 구성한다.
• 그래프 공간에 계수를 부여하고, 필드 𝕂 위의 계수 벡터 공간으로서 prop ℛ𝐺𝑟𝑎_d를 정의한다.
• d에 의존하는 부호 표현을 사용하여 그래프 복합체에 미분을 정의함으로써 초입자적 리 병형대수의 대수적 관계를 표현한다.
• 이 복합체의 호모로지가 델리네-무드포드 컴팩티피케이션의 해소를 통해 곡선의 모듈리 공간의 코homology를 계산함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 간선, 정점, 경계가 모두 레이블링된 방향성 있는 리본 그래프는 초입자적 리 병형대수에 대한 보편적 대수적 구조를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 d에 의존하는 부호 표현 sgn_l^{(d)}는 그래프 복합체에 대한 미분을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 ℛ𝐺𝑟𝑎_d와 관련된 그래프 복합체는 초입자적 리 병형대수의 구조를 어떻게 해소하는가?
• RQ4 이 그래프 복합체의 호모로지는 어떤 방식으로 곡선의 모듈리 공간의 코homology와 연결되는가?
• RQ5 prop ℛ𝐺𝑟𝑎_d는 모듈리 공간의 델리네-무드포드 컴팩티피케이션에 대해 조합론적 및 대수적 모델을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• ℛ𝐺𝑟𝑎_d는 d에 의존하는 부호를 지닌 그래프 복합체를 통해 초입자적 리 병형대수의 운영자에 대한 보편적 해소를 제공한다.
• P_l = 𝕊_l × (ℤ/2ℤ)^l의 리본 그래프에 대한 군 작용은 d에 의존하는 부호 표현 sgn_l^{(d)}를 통해 표현된다.
• 그래프 복합체의 미분은 부호 표현을 사용하여 정의되며, 이는 리 병형대수 관계와의 호환성을 보장한다.
• ℛ𝐺𝑟𝑎_d와 관련된 그래프 복합체의 호모로지는 종수 g, n개의 표시점이 있는 안정 곡선의 모듈리 공간의 코homology를 계산한다.
• 이 구성은 모듈리 공간의 델리네-무드포드 컴팩티피케이션과 그래프 복합체의 호모토피 이론 사이의 연결고리를 수립한다.
• 이 프레임워크는 모듈리 공간을 그래프 복합체의 몫으로 표현함으로써 d-구조를 지닌 리본 그래프를 통한 해소를 실현한다.