[논문 리뷰] Provable quantum state tomography via non-convex methods

Anastasios Kyrillidis, Amir Kalev외 4명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 04.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 64인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 낮은 랭크 또는 순수 양자 상태를 소수의 측정값으로부터 효율적으로 복원할 수 있는 비볼록 최적화 방법인 투영 인수 경사 하강법(ProjFGD)을 제안한다. 비볼록임에도 불구하고 미약한 조건 하에서 전역 최솟값으로 증명 가능하게 수렴하며, 고차원 시스템에서 기존 볼록 해법보다 빠르고 확장성이 뛰어나다.

ABSTRACT

With nowadays steadily growing quantum processors, it is required to develop new quantum tomography tools that are tailored for high-dimensional systems. In this work, we describe such a computational tool, based on recent ideas from non-convex optimization. The algorithm excels in the compressed-sensing-like setting, where only a few data points are measured from a low-rank or highly-pure quantum state of a high-dimensional system. We show that the algorithm can practically be used in quantum tomography problems that are beyond the reach of convex solvers, and, moreover, is faster than other state-of-the-art non-convex approaches. Crucially, we prove that, despite being a non-convex program, under mild conditions, the algorithm is guaranteed to converge to the global minimum of the problem; thus, it constitutes a provable quantum state tomography protocol.

연구 동기 및 목표

• 고차원 양자 시스템에서 볼록 양자 상태 토모그래피 방법의 계산 비효율성을 해결한다.
• n-qubit 시스템에서 O((2^n)^3)의 복잡도로 증가하는 볼록 해법의 고비용 고유값 분해 문제를 해결한다.
• 이론적 보장을 유지하면서도 더 빠른 수렴 속도와 낮은 저장 요구량을 달성하는 비볼록 최적화 프레임워크를 개발한다.
• 기존 볼록 해법이 다룰 수 없는 범위를 넘어서 순수 또는 낮은 랭크 상태를 소수의 데이터로 실용적으로 복원할 수 있도록 한다.
• 현실적인 가정 하에 양자 상태 토모그래피에 특화된 비볼록 공식화에서 전역 최솟값으로의 증명 가능 수렴을 제공한다.

제안 방법

• 밀도 행렬 ρ = AA†의 인수화된 매개변수화를 사용하여 양자 상태 토모그래피를 비볼록 낮은 랭크 행렬 복원 문제로 공식화한다.
• 제약 조건(예: 단위 노름, 양의 준정부호성)을 암묵적으로 유지하면서 요소 A 위에서 투영된 교대 경사 하강법(ProjFGD)을 적용한다.
• 수렴성과 안정성을 보장하기 위해 적응형 스텝 크기 η = 1/(10 * L_est * S1(1,1) + S2(1,1))를 사용하는 선 탐색 전략을 도입한다.
• 각 업데이트 후 A를 정규화하기 위한 투영 단계를 도입하여 해공간 내 타당성을 유지한다.
• 좋은 수렴 초기화를 확보하기 위해 ρ₀ = Π₊(−𝒜*(y))를 통해 초기화한 후 SVD 기반 인수 분해를 통해 A₀를 확보한다.
• 최종 결과로 얻어진 ρ가 유효한 밀도 행렬(에르미트, 양의 준정부호, 트레이스가 1)임을 보장하기 위해 제약 조건을 최적화에 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 현실적인 조건 하에서 비볼록 최적화 방법이 양자 상태 토모그래피에서 증명 가능한 전역 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 비볼록 접근 방식이 고차원 양자 시스템에서 계산 효율성과 확장성 측면에서 볼록 해법을 능가하는가?
• RQ3 소수의 파울리 측정값만 존재할 경우 알고리즘이 순수 또는 낮은 랭크 양자 상태를 얼마나 잘 복원하는가?
• RQ4 비볼록 설정에서 초기화 품질과 스텝 크기 선택이 수렴 속도와 정확도에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ5 완전한 복원을 위한 정보 이론적 임계값보다 측정 수가 크게 낮을 경우에도 이 방법이 강건성과 정확도를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 비볼록 최적화 방법임에도 불구하고 미약한 정규성 조건과 양호한 초기화 하에서 진짜 양자 상태로 증명 가능하게 전역 수렴을 달성한다.
• n=12 큐비트 및 큐비트당 3개의 파울리 측정값(C_sam=3) 조건에서, ProjFGD는 266.82초 만에 상대 프로베니우스 오차 8.4761e-06으로 상태를 복원하여 RSVP 및 SparseApproxSDP보다 정확도와 속도에서 모두 뛰어나다.
• 순수 상태 케이스(r=1)에서 n=6일 경우 0.1초 미만, n=10일 경우 14초 미만으로 상대 오차가 10^-5 이하에 도달하여 뛰어난 확장성을 보였다.
• n=10에서 랭크 5 및 랭크 20 상태에 대해서도 상대 오차가 10^-5 이하로 유지되며 실행 시간은 500초 이내를 기록하여 랭크 증가에 대해 강건함을 입증했다.
• 최신 볼록 해법보다 훨씬 빠르게 작동한다: n=12일 경우 RSVP보다 약 56배, SparseApproxSDP보다 약 54배 더 빠르며 더 높은 정확도를 달성했다.
• 수치 결과는 ProjFGD가 AccUniPDGrad보다 수렴 속도가 더 빠르며, 고차원 및 저샘플링 환경을 포함한 모든 테스트 설정에서 더 낮은 재구성 오차를 기록함을 보여주었다.