[논문 리뷰] Proving termination with transition invariants of height omega

Stefano Berardi, Paulo Oliva외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 17.

semigroups and automata theory참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 관계의 높이가 𝜔인 분리된 잘 서운한 전이 불변량을 갖는 while-if 프로그램은 정확히 그 감소 관계의 순서수 높이 ≤ 𝜔ⁿ 인 프로그램들임을 증명한다. 또한 이러한 관계들과 전이 관계들이 원시 재귀일 경우, 해당 프로그램들이 정확히 원시 재귀 함수를 계산함을 증명하며, Podelski-Rybalchenko 종료성 프레임워크의 표현력을 특성화하고, Terminator 알고리즘이 정확히 원시 재귀 함수를 포괄한다는 추측을 뒷받침한다.

ABSTRACT

The Termination Theorem by Podelski and Rybalchenko states that the reduction relations which are terminating from any initial state are exactly the reduction relations whose transitive closure, restricted to the accessible states, is included in some finite union of well-founded relations. An alternative statement of the theorem is that terminating reduction relations are precisely those having a "disjunctively well-founded transition invariant". From this result the same authors and Byron Cook designed an algorithm checking a sufficient condition for termination for a while-if program. The algorithm looks for a disjunctively well-founded transition invariant, made of well-founded relations of height omega, and if it finds it, it deduces the termination for the while-if program using the Termination Theorem. This raises an interesting question: What is the status of reduction relations having a disjunctively well-founded transition invariant where each relation has height omega? An answer to this question can lead to a characterization of the set of while-if programs which the termination algorithm can prove to be terminating. The goal of this work is to prove that they are exactly the set of reduction relations having height omega^n for some n < omega. Besides, if all the relations in the transition invariant are primitive recursive and the reduction relation is the graph of the restriction to some primitive recursive set of a primitive recursive map, then a final state is computable by some primitive recursive map in the initial state. As a corollary we derive that the set of functions, having at least one implementation in Podelski Rybalchenko while-if language with a well-founded disjunctively transition invariant where each relation has height omega, is exactly the set of primitive recursive functions.

연구 동기 및 목표

• 관계의 높이가 𝜔인 분리된 잘 서운한 전이 불변량을 갖는 while-if 프로그램의 집합을 특성화하는 것.
• 이러한 불변량을 허용하는 감소 관계의 순서수 높이를 결정하여 증명 이론적 강도와 계산적 표현력 간의 연결을 맺는 것.
• 모든 관계들이 원시 재귀일 경우, 최종 상태와 단계 수가 원시 재귀 함수에 의해 계산 가능함을 보이는 것.
• Podelski-Rybalchenko 종료성 정리에 기반한 Terminator 알고리즘이 𝜔-높이 불변량에 제한되었을 때 정확히 원시 재귀 함수를 포괄한다는 추측을 뒷받침하는 것.

제안 방법

• Ramsey의 정리의 구성적, 직관주의적 대응으로서 H-폐쇄 정리를 도입하여, 구성적 환경에서 종료 정리를 증명할 수 있도록 한다.
• 전이 불변량의 구조를 모델링하기 위해 감소 수열의 k-분지 트리를 정의하고, 자연 합을 사용하여 그 순서수 높이를 계산한다.
• k-진 트리에 대한 포함 관계를 통한 H(R₁ ∪ … ∪ Rₖ) 순서의 시뮬레이션을 사용하여, 높이 ≤ αᵢ인 관계들의 합집합의 순서수 높이를 2^(α₁ ⊕ … ⊕ αₖ)로 경계한다.
• 전이 불변량을 k-진 트리로의 원시 재귀 통합을 구성하여, 종료에 필요한 단계 수에 대한 균일한 원시 재귀 경계를 유도한다.
• 원시 재귀 도메인 위의 원시 재귀 사상의 그래프로 정의된 감소 관계에 대해, 𝜔-높이 전이 불변량의 존재가 최종 상태의 원시 재귀 계산 가능성으로 이어짐을 증명한다.
• 함수 합성과 원시 재귀에 대한 귀납법을 적용하여, Podelski-Rybalchenko while-if 언어에서 𝜔-높이 불변량을 사용해 기술할 수 있는 모든 함수가 원시 재귀임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 관계의 높이가 𝜔인 전이 불변량을 갖는 while-if 프로그램의 어떤 집합이 종료성 증명이 가능한가?
• RQ2 관계의 높이가 𝜔인 분리된 잘 서운한 전이 불변량을 허용하는 감소 관계의 최대 순서수 높이는 무엇인가?
• RQ3 이러한 프로그램의 단계 수와 최종 상태는 원시 재귀 함수에 의해 계산 가능한가?
• RQ4 Podelski-Rybalchenko 종료성 알고리즘(또는 Terminator 알고리즘)은 𝜔-높이 불변량에 제한되었을 때 정확히 원시 재귀 함수를 포괄하는가?
• RQ5 이러한 불변량의 순서수 이론적 강도를 특성화하는 구성적, 직관주의적 종료 정리 증명이 존재하는가?

주요 결과

• 관계의 높이가 𝜔인 분리된 잘 서운한 전이 불변량을 갖는 감소 관계의 집합은 정확히 어떤 유한한 n에 대해 순서수 높이 ≤ 𝜔ⁿ 인 관계들의 집합이다.
• 높이가 𝜔인 k개의 관계의 합집합의 순서수 높이는 2^(𝜔 ⊕ … ⊕ 𝜔) = 2^𝜔로 경계되며, 이는 𝜔^𝜔보다 엄격히 작다.
• 𝜔-높이 전이 불변량과 원시 재귀 관계를 갖는 모든 while-if 프로그램에 대해, 단계 수와 최종 상태는 모두 원시 재귀 함수에 의해 계산 가능하다.
• 이러한 불변량을 사용하는 Podelski-Rybalchenko while-if 언어에서 기술할 수 있는 함수의 집합은 정확히 원시 재귀 함수의 집합이다.
• 논문은 H-폐쇄 정리를 통해 종료 정리의 구성적 증명을 제공하여, 종료성에 대한 직관주의적 추론을 가능하게 한다.
• 결과들은 Terminator 알고리즘이 𝜔-높이 불변량을 사용할 때 원시 재귀 함수의 종료성만 증명할 수 있다는 추측을 뒷받침한다.