[논문 리뷰] Proximal calculus on Riemannian manifolds, with applications to fixed point theory

Daniel Azagra, Juan Ferrera|ArXiv.org|2004. 03. 26.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리만다이니안 다양체 위의 비미분 가능 함수에 대한 프록시멀 부분미분 미적분을 도입하여, 확장형 및 비확장형 사상에 대한 새로운 고정점 정리들을 가능하게 한다. 주요 기여는 곡률과 도함수의 유계성 조건 하에서, 완전하지만 비유한 다양체(또는 비콤팩트 다양체)에서도 성립하는, 사상의 복합 및 왜곡에 대한 새로운 고정점 결과를 제시하는 것이다.

ABSTRACT

We introduce a proximal subdifferential and develop a calculus for nonsmooth functions defined on any Riemannian manifold $M$. We give several applications of this theory, concerning: 1) differentiability and geometrical properties of the distance function to a closed subset $C$ of $M$; 2) solvability and implicit function theorems for nonsmooth functions on $M$; 3) conditions on the existence of a circumcenter for three different points of $M$; and especially 4) fixed point theorems for expansive and nonexpansive mappings and certain perturbations of such mappings defined on $M$.

연구 동기 및 목표

• 리만다이니안 다양체 위의 하부연속 함수에 대한 프록시멀 부분미분 미적분을 개발하여 힐버트 공간 분석 도구를 확장한다.
• 닫힌 부분집합으로부터의 거리 함수의 변분 원리 및 미분 가능성 성질을 다양체 위에서 확립한다.
• 리만다이니안 다양체 위의 비미분 가능 함수에 대한 해의 존재성 및 은둔함수 정리 증명.
• 리만다이니안 다양체 위에서 세 점의 외심 존재 조건 유도.
• 완전한 리만다이니안 다양체 위에서 비확장형 및 확장형 사상과 그 작은 왜곡에 대한 새로운 고정점 정리 수립.

제안 방법

• 리만다이니안 계량과 평행이동을 포함한 이차 하한 조건을 사용하여 리만다이니안 다양체 위의 프록시멀 부분미분을 정의한다.
• 제곱 거리 함수와의 인프-컨볼루션을 활용하여 다양체 위에서 보르바인-프라이스 유형의 변분 원리 유도.
• 해의 존재성 및 은둔함수 정리 유도를 위해 감소 원리(Decrease Principle) 수립.
• 닫힌 부분집합으로부터의 거리 함수의 미분 가능성 및 기하학적 성질 분석을 위해 이론을 적용.
• 사상의 도함수 및 그 왜곡에 대한 유계성 조건을 활용하여 프록시멀 미적분을 통해 고정점 정리 도출.
• 평행이동과 곡률 유계성(접속 반경을 통한)을 활용하여 지오데식의 행동 제어 및 고정점 증명에서 국소적 단사성 확보.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐베르트 공간에서 의미 있는 프록시멀 부분미분 미적분이 일반 리만다이니안 다양체로 확장될 수 있는가?
• RQ2 리만다이니안 다양체 위의 닫힌 부분집합으로부터의 거리 함수가 어떤 조건에서 미분 가능하거나 프록시멀 부분미분 가능해지는가?
• RQ3 프록시멀 미적분을 활용하여 리만다이니안 다양체 위의 비미분 가능 함수에 대한 해의 존재성 및 은둔함수 정리를 일반화할 수 있는가?
• RQ4 리만다이니안 다양체 위에서 세 점의 외심 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 비콤파クト이지만 완전한 리만다이니안 다양체 위에서 수축 조건 없이도 확장형 또는 비확장형 사상에 대한 고정점 정리를 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 완전하고 접속 반경이 양수인 리만다이니안 다양체 위의 하부연속 함수에 대해 보르바인-프라이스 유형의 변분 원리가 성립한다.
• 리만다이니안 다양체의 닫힌 부분집합 $ C $ 로부터의 거리 함수는 적절한 기하학적 조건 하에서 프록시멀 부분미분 가능하다.
• 모든 단위 벡터 $ h $ 에 대해 $ \big\bracevert \langle h, dG(x_0)(h) \rangle \big\bracevert \leq K < 1 $ 를 만족하는 $ C^1 $ 사상 $ G $ 가 있을 때, $ \delta > 0 $ 가 존재하여 $ H $ 가 $ \delta $-립시츠이고 $ d(x_0, x_0 + H(x_0)) < \delta $ 를 만족하면 $ G + H $ 는 $ x_0 $ 근방에 고정점을 가진다.
• 만약 $ F = H \circ G $ 이고 $ G $ 가 $ C $-립시츠이며, $ \big\langle L_{xH(G(x))}h, L_{G(x)H(G(x))}dG(x)(h) \big\rangle \leq K < 1 $ 이고 $ H $ 가 도함수 노름에서 항등사상에 충분히 가까운 경우, $ d(x_0, H(G(x_0))) < R(1 - K - \varepsilon) $ 이고 $ \varepsilon < 1 - K $ 를 만족하면 $ B(x_0, R) $ 내부에 $ F $ 가 고정점을 가진다.
• 이 고정점 결과는 $ M = \mathbb{R}^n $ 또는 힐베르트 공간인 경우에도 기존의 결과를 초월하여 새로운 것으로, 기존의 콤팩트성 또는 수축 조건이 필요 없는 설정으로 확장된다.
• 유한차원 다양체에서는 고정점 정리에서 특이점 집합 $ \operatorname{sing}(z) $ 를 컷로지 $ \operatorname{cut}(z) $ 로 대체할 수 있다.