[논문 리뷰] Pruning of CRT-sub-trees

Romain Abraham, Jean‐François Delmas외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 12.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Lévy 나무의 이산 Galton-Watson 부분나무에 대해 두 파라미터(pruning parameter θ와 강도 λ)를 갖는 잘라내기 과정을 연구한다. 여기서 잘라내기는 뼈대를 따라 그리고 정점의 질량 비례로 발생한다. 주요 기여는 상승 시간과 폭발 시간의 나무 분포를 크기 편향된 결합과 Girsanov 유형의 변환을 통해 명시적으로 특성화한 것으로, 초임계 Lévy 나무의 두 정의가 동치임을 증명한다.

ABSTRACT

We study the pruning process developed by Abraham and Delmas (2012) on the discrete Galton-Watson sub-trees of the Lévy tree which are obtained by considering the minimal sub-tree connecting the root and leaves chosen uniformly at rate $λ$, see Duquesne and Le Gall (2002). The tree-valued process, as $λ$ increases, has been studied by Duquesne and Winkel (2007). Notice that we have a tree-valued process indexed by two parameters the pruning parameter $θ$ and the intensity $λ$. Our main results are: construction and marginals of the pruning process, representation of the pruning process (forward in time that is as $θ$ increases) and description of the growing process (backward in time that is as $θ$ decreases) and distribution of the ascension time (or explosion time of the backward process) as well as the tree at the ascension time. A by-product of our result is that the super-critical Lévy trees independently introduced by Abraham and Delmas (2012) and Duquesne and Winkel (2007) coincide. This work is also related to the pruning of discrete Galton-Watson trees studied by Abraham, Delmas and He (2012).

연구 동기 및 목표

• Lévy 나무의 이산 Galton-Watson 부분나무에 대해 잘라내기 매개변수 θ와 강도 λ로 인덱싱된 잘라내기 과정을 분석한다.
• θ 증가에 따른 시간 흐름에 따른 잘라내기 과정(앞으로의 동역학)과 θ 감소에 따른 시간 역행의 성장 과정(뒤로의 동역학)을 특성화한다.
• 조건부 측도 Pψ,λ 하에서 상승 시간 Aλ와 폭발 시간의 나무 분포를 유도한다.
• 초임계 Lévy 나무의 두 독립적 구성 방식 간의 동치성을 증명한다. 이는 주요 결과의 부산물이다.

제안 방법

• 나무 값 함수 프로세스 τθ(λ) = Tθ ∩ τ0(λ)를 도입한다. 여기서 τ0(λ)는 T0 내에서 루트와 λ-포isson 샘플링된 잎들을 연결하는 최소 부분나무이다.
• Girsanov 변환을 사용하여 Pψ,λ 하에서 잘라내기 과정의 법칙을 P*,ψ 하에서의 크기 편향된 Galton-Watson 나무의 법칙과 연결한다.
• 변형된 분열 메커니즘 ψθ(q) = ψ(q+θ) − ψ(θ)를 정의한다. 이는 Tθ의 법칙이 메커니즘 ψθ를 갖는 Lévy 나무임을 특성화한다.
• 크기 편향된 분포 G*를 사용하여 잘라내기 과정의 분포를 표현한다. 여기서 루트의 자손 분포의 생성함수는 1−g′(1)+ug′(u)이다.
• 조건부 측도 Pψ,λ 하에서 상승 시간 Aλ의 밀도 fλ(r) = (1/η)(1 − ψ′(r)/ψ′(r̄))1{r∈(θλ,0)}를 도출한다.
• 랜덤 시간 변화 Aλ = U를 사용하며, U는 밀도 fλ를 갖는다. 그리고 Pψ,λ 하에서 S_{Aλ}(λ)가 P*,ψ 하에서 S*_{Ū}(ψ(ηFλ(U)))와 동일한 법칙을 가짐을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 θ 증가에 따라 잘라내기 과정의 상승 시간 Aλ의 분포는 무엇인가?
• RQ2 P*,ψ 하에서 크기 편향된 Galton-Watson 나무와 상승 시간 Aλ의 나무는 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 θ 증가에 따라 잘라내기 과정 τθ(λ)의 시간 흐름에 따른 동역학은 무엇인가?
• RQ4 θ 감소에 따른 시간 역행의 성장 과정은 크기 편향된 과정과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 [2]에서의 잘라내기 과정과 [14]에서의 λ 증가 부분나무를 통한 초임계 Lévy 나무의 두 구성 방식은 일치하는가?

주요 결과

• 조건부 측도 Pψ,λ 하에서 상승 시간 Aλ는 (θλ, 0)에서 밀도 fλ(r) = (1/η)(1 − ψ′(r)/ψ′(r̄))를 갖는 분포를 가진다. 여기서 η = ψ−1(λ).
• 조건부 측도 Pψ,λ 하에서 상승 시간의 잘라내기 과정 S_{Aλ}(λ)의 법칙은 U가 밀도 fλ를 갖는다고 할 때, P*,ψ 하에서 S*_{Ū}(ψ(ηFλ(U)))와 동일한 법칙을 가진다.
• joint 법칙 (Aλ, τ_{Aλ}(λ))은 P*,ψ 하에서의 전진 과정과의 크기 편향된 결합을 통해 특성화된다.
• θ 감소에 따른 시간 역행 과정 (τθ(λ), θ 감소)는 P*,ψ 하에서의 크기 편향된 과정 S*_{θ}(λ)의 시간 변화된 형태이다.
• 초임계 Lévy 나무의 두 구성 방식—[2]에서의 잘라내기 과정과 [14]에서의 λ 증가 부분나무—는 동치이다.
• Girsanov 유형의 변환은 원래 잘라내기 과정과 크기 편향된 Galton-Watson 모델을 연결하는 마틴게일 측도 변화를 제공한다.